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解決済みの質問

ミクロ経済学の問題

某大学編入の過去問です(ミクロ経済学)。

財xと財yん関する生産可能性フロンティアの式が
x^2+y^2=M
で与えられている。ここに、Mは資源の量である。
個人の効用関数は
U(x,y)=(x)(y)^2
で与えられ、この個人が資源を72保有しているとする。
この個人の最適生産・消費計画(x*,y*)を求めよ。

やり方まで教えてもらえるとありがたいです。

投稿日時 - 2019-07-15 21:32:36

QNo.9635787

困ってます

質問者が選んだベストアンサー

>市場が出ない問題もあるんですね、恥ずかしながら知らなかったです…

そんなことはありません。だいたい、パレート最適(効率)の概念は市場メカニズムとは独立の概念です。だから、競争均衡(市場で成立する概念)はパレート最適(市場とは独立の概念)であるという(厚生経済学の第1)命題が興味深いのです。
あなたのように計算するのが正攻法(フォーマルなやり方)で、正しい方法ですが、途中計算間違いをしているようなので、検算をされたい。
私なら、図から得られるショートカットを使います。
無差別曲線の傾きを限界代替率(MRS)といいますが、
MRS=∂U/∂x/∂U/∂y=y^2/2xy = y/(2x)
であり、生産可能フロンティアの傾きを限界変換率(marginal rate of transformation, MRT)といいますが
MRT=∂M/∂x/∂M/∂y=2x/2y = x/y
となる。無差別曲線と生産可能性フロンティアが接するとき、これらは相等しくなるので、
MRS=MRT
よって
y/(2x) = x/y
y^2 = 2x^2
これを生産可能フロンティアの式に代入し、整理すると
x^2 = 24
x = 2√6
y=4√3
となる。つまり、(x*,y*)=(2√6,4√3)が最適解です。

投稿日時 - 2019-07-19 08:05:34

お礼

再度計算をしてみましたが、たしかに私の計算ミスでstatecollegeさんの回答通り(x*,y*)=(2√6,4√3)になりました、、
別解も示していただきありがとうございます。
厚生経済学の第1命題は、つまり市場経済の有効性を表しているのですね…
(一般均衡分析は、まだまだ理解できていないのでもっと勉強します!)
すべての質問にご丁寧にご教示くださり誠にありがとうございます!
また、わからないことがありましたら、お手数ですがご教示いただけますと幸いです。

投稿日時 - 2019-07-20 22:51:14

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回答(5)

ANo.5

>一階条件は
δL/δx=y^2-2xλ=0
δL/δy=2xy-2yλ=0
δL/δλ=72 - x^2 - y^2=0
で、この連立方程式を解くことで、
(x*,y*)=(6,4√3)
が得られる…これで合っていますでしょうか、、?

途中の計算を再チェックしてみた?この答が間違いであることは結果を最後の制約式にいれてみれば、ゼロにならないことからわかるでしょう。正しい答えは私の回答4に書きました。

投稿日時 - 2019-07-20 19:53:50

ANo.3

>この場合の効用最大化問題は
max(x,y) xy^2
s.t. p1x^2+p2y^2=72

いいえ、違います!
max U = (x)(y)^2
s.t.
x^2 + y^2 = 72
の条件付き効用最大化問題を解く、ということです。市場は出てこないので、価格Px、Pyは関係ありません。xを横軸に、yを縦軸にとるとき、制約条件は原点を中心に、半径√72の円を第1象限に描いた4分の1円だということがわかりますか?効用関数を無差別曲線群(原点にたいして凸の曲線群)で表してください。その無差別曲線の1つが資源制約である4分の1円と接することがわかるでしょう。その接した点が最大解の(x*,y*)です。以上は解を図で示す方法ですが、それを具体的に計算で示すにはどうしたらいい?

投稿日時 - 2019-07-18 05:49:54

お礼

市場が出ない問題もあるんですね、恥ずかしながら知らなかったです…
図で描いてみると、確かに直観的でわかりやすいですね。
計算だと、効用最大化問題は、

max U = (x)(y)^2
s.t. x^2 + y^2 = 72

と定式化でき、ラグランジュ乗数をλとすると、

L=(x)(y)^2+λ(72 - x^2 - y^2)

一階条件は
δL/δx=y^2-2xλ=0
δL/δy=2xy-2yλ=0
δL/δλ=72 - x^2 - y^2=0

で、この連立方程式を解くことで、
(x*,y*)=(6,4√3)
が得られる…これで合っていますでしょうか、、?

投稿日時 - 2019-07-19 01:30:02

ANo.2

「普通の問題」の例として、この質問(↓)の回答2

https://okwave.jp/qa/q9622973.html

投稿日時 - 2019-07-17 13:25:46

ANo.1

あなたは、予算制約のもとでの効用最大化問題という「普通の問題」は解けますか?この「普通の問題」とは、効用関数が与えられたとき、個人の、財XとYの需要関数を求める問題です。普通の問題では、予算制約は
Px・x+Py・y=I
というふうにxとyについて線形(一次関数)ですが、ここでは制約式が非線形であるという違いがあるだけです。「普通の問題」の解き方を知っているなら、ここの問題はその応用です。

投稿日時 - 2019-07-17 06:23:46

お礼

なるほど!つまり、予算制約は生産可能性フロンティアで表されるんですね、、
この場合の効用最大化問題は

max(x,y) xy^2
s.t. p1x^2+p2y^2=72

で、最適解を求めればいいんですね…

投稿日時 - 2019-07-18 01:34:24

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