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解決済みの質問

電気回路 1階の連立微分方程式

「2階の微分方程式」を「1階の連立微分方程式」に書き換える意義を教えて下さい。

まずは、添付画像(本への書き込み)

原著のpdfの13ページ目(演習1.2、本でいうと3ページ目)をご覧ください:
https://www.morikita.co.jp/data/mkj/091782mkj.pdf

階数の引き下げ方は理解しています。ただ、なぜ引き下げるのかが不明です。
分からないのが、式(7)から式(9)にする過程で、すべてを右辺に移項して、左辺をゼロにしているようです。
キルヒホッフの第二法則「一周すると総和はゼロ」に基づいてだと思います。
しかし、式(9)になると、その左辺のゼロが
d/dt [ x[1], x[2] ]' ←縦書き
に書き換わっています。
どういうことですか?

しかも、d/dt [ x[1], x[2] ]'のx[2]って元々x[1]の微分ですよね?
d/dt [ x[2] ]なら更に微分するということになりますよね?
つまり、x[1] = qから辿ると、2階の微分
d(dq/dt)/dt)
になります。
これは式(2)のLの項の
(d^2 q)/(dt^2)
と同じ意味ですか?

今まで私が知っている微分方程式は
y' = 2(x-1)
の両辺をxで積分して
y = x^2 - 2x + C
…のように、左辺はyでした。
今回、yは式(10)の左辺にありますね。
式(9)と式(10)の関係が不明です。

よくよく考えたら、私にとって連立微分方程式を扱うのは今回が初めてでした。
過去に終わらせた微分方程式の本には連立微分方程式は載っていません。
ネットで2時間検索したのですが、納得いく答えは見つかりませんでした。
どうか納得いくように教えて下さい。よろしくお願いします。

投稿日時 - 2019-05-18 11:11:47

QNo.9617672

困ってます

質問者が選んだベストアンサー

> ただ、なぜ引き下げるのかが不明です。

2階微分方程式よりも1階微分方程式の方が簡単だから。

> 式(7)から式(9)にする過程で、すべてを右辺に移項して、左辺をゼロにしているようです。

そんなことはしていません。例えば式(7)を
dx2/dt=(1/LC)x1+(-R/L)x2+(1/L)vi
に変形しているだけです。

> その左辺のゼロがd/dt [ x[1], x[2] ]' ←縦書きに書き換わっています。どういうことですか?

式(6)はdx1/dt=x2ですから,上の式と合わせると式(9)になります。

> これは式(2)のLの項の(d^2 q)/(dt^2)と同じ意味ですか?

同じ意味です。

> 式(9)と式(10)の関係が不明です。

式(9)は式(6)と式(7)を書き換えたもの,式(10)は式(8)を書き換えたものです。
特に難しいことは何もありません。

y' = 2(x-1)の両辺をxで積分してy = x^2 - 2x + C
との比較で言えば
dx/dt = 2(t-1)の両辺をtで積分してx = t^2 - 2t + C
のようなことをするわけです。

投稿日時 - 2019-05-18 15:08:41

補足

ベストアンサーを差し上げますので、もうしばらくお待ちください。m(_ _)m

投稿日時 - 2019-05-19 23:58:01

お礼

ベストアンサーを差し上げます。
完全に理解しました。
正直、5分前まで「dx2/dtの計算方法は分かったのですが、dx1/dtはどうやって求めたのですか?」と訊こうと思っていました。なるほど、既に式(6)に書かれていたんですね。式(7)から出てくるものだとばかり思っていました。
お陰様で、他の部分も理解できました。ありがとうございました!

投稿日時 - 2019-05-20 10:49:34

ANo.1

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