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解決済みの質問

解法を教えてください。

平成27年度大阪府公立高校前期数学の入試問題です。図形ABCDEFは2cmの正6角形です。よろしくお願いします。

投稿日時 - 2016-12-29 10:20:10

QNo.9274511

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質問者が選んだベストアンサー

BJ=Xとします。
図のようにA,B,F,Kを通る補助線を引き
新しくできた点をL,M,N(=90°)とします。

正六角形の1つの内角は120°なので∠LBA=180°-120°=60°
三角形ALB=30°、60°、90°の直角三角形なので
AB=2のときLB=1 AL=√3
(この直角三角形の比はよくでるので覚えておきましょう。)

三角形ALJに三平方の定理を用いて
AJ^2=AL^2+JL^2    (2乗は ^2 で表しています。) 
三角形AMKに三平方の定理を用いて
AK^2=AM^2+MK^2
三角形AJKに三平方の定理を用いて
JK^2=AJ^2+AK^2
=(AL^2+JL^2)+(AM^2+MK^2)
={3+(1+X)^2}+{3+(1+3X)^2}
=10X^2+8X+8

BN=FK=3Xで
JN=BN-BJ=3X-X=2X
だから三角形NKJに三平方の定理を用いて
JK^2=JN^2+NK^2
=(2X)^2+(2√3)^2
=4x^2+12

よって
JK^2=10X^2+8X+8=4x^2+12

6X^2+8X-4=0
3X^2+4X-2=0

解の公式を用いて
X=(-2+√10)/3  となりました
((-2-√10)/3はマイナスの値なので辺の長さとしては不適)



中学校で学ぶ知識のみで解いたつもりですが、もし習っていない事柄があったらごめんなさい。

投稿日時 - 2016-12-30 00:11:54

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回答(2)

この正六角形は、半径2cmの円に内接します。
この円の中心を原点O(0,0)、点Aを(0,2)、BJ=aとおくと、点B、J、F、Kの座標は次のようになります。
(ただし、0<3a<2であるから、0<a<2/3)
点B(-√3,1)、J(-√3,1-a)、F(√3,1)、K(√3,1-3a)
点AとJを通る直線の傾きは、(a+1)/√3
点AとKを通る直線の傾きは、-(3a+1)/√3
これら2つの直線は直交するので、{(a+1)/√3}*{-(3a+1)/√3}=-1
これから、3a^2+4a-2=0
これを解の公式によって解くと、a={√(10)-2}/3cm(0<a<2/3)

投稿日時 - 2016-12-29 22:01:03

お礼

ありがとうございます。ベストアンサ-ではありませんがよくわかりました。お忙しい中ありがとうございます。感謝してます。

投稿日時 - 2016-12-30 09:39:54

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