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中学受験算数 図形の問題

図(添付画像)のような一辺が90mの正方形ABCDがあり、AE,DFの長さはともに50mです。

点Pは9時にAを出発して、毎分10mの速さで正方形の辺上を、A→B→C→D→Aと動いて1周します。

点Qは9時にCを出発して、毎分6mの速さで正方形の辺上を、C→D→A→・・・と、点Pが1周するまで動きます。

この時、三角形PEFの面積と三角形QEFの面積について調べます。

次の空欄に当てはまる数を答えなさい。

(1)点PがAE上にある9時(  )分に、三角形PEFの面積と三角形QEFの面積が等しくなります。

(2)点PがEB上にある9時(  )分に、三角形PEFの面積と三角形QEFの面積が等しくなります。

(3)点PがBC上にある9時(  )分に、三角形PEFの面積と三角形QEFの面積が等しくなります。

(4)点PがCを過ぎてからAに戻るまでの間で、三角形PEFの面積と三角形QEFの面積が等しくなルノは、9時(  )分から9時(  )分までの間です。


答えは、(1)2と2分の1 (2)5と8分の5 (3)13と3分の1 (4)27、30 です。

わからないです( i _ i )

投稿日時 - 2016-12-26 00:36:25

QNo.9273149

困ってます

質問者が選んだベストアンサー

(1)です。

まず、スタートするときの三角形PEFの面積を出してみましょう。
PはAにあるので、三角形PEFは50×90÷2で2250cm2ですね。
そして、1分たつと、三角形PEFの辺PEが10cm短くなりますね。辺EFを底辺とすると、高さは辺PEです。つまり、底辺は変わらずに高さだけ10cm短くなるわけです。だから、面積は10×90÷2で450cm2ずつ小さくなります。

一方、三角形QEFの面積は、スタートするときは40×90÷2で1800cm2です。
そして、辺QFは1分で6cm短くなるので、面積は6×90÷2で270cm2ずつ小さくなります。

これを使えば旅人算のようにして答えが出せますよ。
スタートするときは三角形PEFの方が2250-1800で450cm2大きいですね。これが0cm2になるときに、面積が同じになるわけです。
そして、三角形PEF の面積は1分ごとに450cm2ずつ小さくなり、三角形QEFの面積は1分ごとに270cm2ずつ小さくなるので、面積の差は450-270で180cm2ずつ縮まっていきます。
だから、450cm2が0cm2になるまでの時間は、450cm2÷180cm2毎秒で2.5秒後ということになりますね。


次に(2)です。

三角形PEF も三角形QEFも少しずつ小さくなっていくのですが、ではどちらが先に0cm2になるかわかりますか。
それは三角形PEFです。スタートしてから5分後にPがEに重なると面積が0cm2になってしまいます。
このときQは5分×6cm毎分で30cm動いています。だからQとFの間は40-30で10cmですね。

この後は、PとQを結んだ線が辺EFと平行になるまで動かせばいいのです。そうすれば、辺EFを底辺としたときの高さが同じになりますから、面積も同じになりますね。
これは、PとQが出会う問題と同じです。10cm÷(10+6)cm2で、8分の5分後ですね。
PがEに着くまでの5分と足せば、それが答えです。


(3)は簡単ですね。

Pが辺BC上にある間、三角形PEFの高さはずっと40cmですね。
だから、三角形QEFの高さも40cmになれば、面積も同じになります。QFが40cmになればいいのですから、QCは40cm+40cmで80cmですね。80cm÷6cm毎分で13と3分の1分後になります。


(4)は頑張って自分で考えてみて下さいね。


なお、今はたまたま少し時間ができたのでこの投稿に回答しましたが、もうひとつの投稿にお答えする時間がありません。ご容赦下さい。

また、次に投稿を読むのは1月1日になりそうです。

投稿日時 - 2016-12-26 15:11:02

お礼

丁寧な解説をありがとうございました。よくわかりました。

投稿日時 - 2016-12-27 13:54:55

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回答(2)

ANo.1

底辺が同じ三角形の面積がおなじになるときは、高さが同じになるということですよね。
つまり、PとQの位置における線分EFとの垂直距離が同じなる場合を求められています。

あとは、時間経過でそれがどう変化していくかを求めるんですが、中学受験は方程式を使っちゃいけないんでしたっけ?
使っていいなら
(1)は方程式ならQFの距離は40-6t、EPの距離は50-10t
40-6t=50-10t 
4t=10 t=2.5なので2と2分の1

使ってはいけないなら、時間経過と距離のグラフを方眼紙に作って行けばいいでしょうね。

グラフを書いてみましょう。
Pは時間0のとき50mに点をうちます
分速10なので5分後 0mの点をうちます。そしたらそれをつなげるわけです。
いや、もっといってしまえば、1周するまでの図形を書いてしまいましょう。
AE間は今の式、EB間は、5分からスタートで距離0、9分で距離40
その後9分間は距離が同じ。18分で距離40、24分で距離0 と書いていきましょう。

Qについても同じグラフ上に書いて交点が求める時間です。

投稿日時 - 2016-12-26 01:04:18

お礼

ありがとうございました。

投稿日時 - 2016-12-27 13:54:34

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