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解決済みの質問

中学受験算数 場合の数の問題

4桁のパスワードを設定します。各桁それぞれには0から9までの数字を一つずつ入れていくものとします。同じ数字を2回だけ使う入れ方は何通りありますか。


答えは、4590通りです。


私がやると4590になりません( ; ; )

投稿日時 - 2016-12-23 01:14:41

QNo.9271788

困ってます

質問者が選んだベストアンサー

何も条件がない場合、4桁のパスワードの数は全部で10000通りあります。

(0001、0002、0003・・・9999と数えると9999通りあります。
忘れがちな 0000も含めて10000通りとなります。)


同じ数字を4回使う入れ方は
0000 1111 2222・・・9999  
10通り


同じ数字0を3回使う入れ方は
    
     /1
     /2
     /3
      /4
0-0-0-5   ・・・9通り
     \6
     \7
     \8
     \9

  
   /1-0
   /2-0
   /3-0
   /4-0
0-0-5-0   ・・・9通り
   \6-0
   \7-0
   \8-0
   \9-0

 
 
 /1-0-0 
  /2-0-0 
  /3-0-0 
 /4-0-0 
0-5-0-0   ・・・9通り
 \6-0-0 
 \7-0-0 
 \8-0-0 
 \9-0-0 


1-0-0-0
2-0-0-0
3-0-0-0
4-0-0-0
5-0-0-0   ・・・9通り
6-0-0-0
7-0-0-0
9-0-0-0

合計36通りあります。
同じ三個の数字を1、2,3・・・9に代えても
同じ樹形図が書けますから
同じ数字を3回使う入れ方は
36×10=360(通り) あります。


同じ数字は使わない場合は
(大変ですが)樹形図をかけば5040通り



(全体の数{何も条件がない場合の数})=(同じ数字を4回使う場合の数)+(同じ数字を3回使う場合の数)+(同じ数字を2回使う場合の数)+(同じ数字は使わない場合の数)ですから

10000=10+360+(同じ数字を2回使う場合の数)+5040
     =(同じ数字を2回使う場合の数)+5410

(同じ数字を2回使う場合の数)=10000-5410
               =4590

4590通りと求めることができました。



場合の数や確率の問題では、
(全体の数)=(同じ数字を4回使う場合の数)+(同じ数字を3回使う場合の数)+(同じ数字を2回使う場合の数)+(同じ数字は使わない場合の数)のような考え方をすると簡単になることがよくあります。

また、樹形図はすべて書くのは大変という場合
頭の中でイメージできるようになるといいですね。
樹形図を途中まで書いて規則性に気が付いたら後は計算して答を求めるようにすれば
樹形図を描く手間が省けます。
規則性に気が付ければ、同じ数字は使わない場合の数は
10×9×8×7で簡単に計算して求めることが液ます。

投稿日時 - 2016-12-23 17:26:18

お礼

よくわかりました。しっくりきました!ありがとうございました。

投稿日時 - 2016-12-23 22:13:48

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回答(3)

ANo.1の別解です。

・10種類の数字のうち同じ数字を2回ずつ2組使う場合(例えば0011のパターン)
0012のパターンの応用です。
10種類の数字のうち同じ数字を2回だけ1組使う1組の数字は、0から9までの10種類
同じ数字を2回だけ1組使う使い方は、ANo.1の6通り
例えば0を2回(2桁で)使い、他の2桁でも1と1、2と2のように同じ数字が揃うように考えると、この組合せは9通り
6通りの中で00とした場合と他の2桁で11とした場合、6通りの中で11とした場合と他の2桁で00とした場合は重複するので、これを、
6*10*9/2=270通り
と考えることもできます。

投稿日時 - 2016-12-23 08:12:19

お礼

ありがとうございました。

投稿日時 - 2016-12-23 22:13:13

・10種類の数字のうち同じ数字を2回だけ1組使う場合(例えば0012のパターン)
同じ数字を2回だけ1組使う使い方は、次の6通り
(右から1桁目としても左から1桁目としても同様)
1桁目と2桁目、1桁目と3桁目、1桁目と4桁目、2桁目と3桁目、2桁目と4桁目、3桁目と4桁目
残りの2桁のうち1桁には9通りの数字が入り、さらに残りの1桁には8通りの数字が入るので、
この場合には、6*10*9*8=4320通り

・10種類の数字のうち同じ数字を2回ずつ2組使う場合(例えば0011のパターン)
10種類の数字のうち2種類の数字の選び方は、0と1、0と2から最後8と9まで合計で、
9+8+・・・+2+1=45通り
4桁のうち2桁を選ぶ選び方は、上と同様に6通りになるので(1種類の数字が入る2桁が決まれば、他の種類の数字が入る2桁も必然的に決まるので)、
この場合には、45*6=270通り

よって、答えは4320+270=4590通り

投稿日時 - 2016-12-23 06:15:51

お礼

詳しい説明をありがとうございました。

投稿日時 - 2016-12-23 22:14:27

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