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解決済みの質問

中学受験算数 価格の問題

あるお店では、消費税が導入されて以来、税抜き価格に消費税を加えた金額を税込価格としています。ただし、1円未満の端数は切り捨てます。このお店で商品を買う時次の問いに答えなさい。

消費税が8%である現在、税抜き価格が99円の商品には消費税が7円つき、税込価格は106円です。また、税抜き価格が100円の商品には消費税が8円つき、税込価格は108円です。この例から、このお店では消費税が8%の場合、税込価格が107円とはなり得ないことになります。

消費税が5%、8%のいずれの場合にも税込価格としてなり得ないのは何円ですか。また、消費税が3%、5%、8%のすべての場合に税込価格としてなり得ないのは何円ですか。それぞれ考えられる価格のうち一番小さいものを答えなさい。


答えは、

3%、5%→188円
3%、5%、8%→377円

です。

どうやればよいのかさっぱりわかりません。よろしくお願いします。

投稿日時 - 2016-12-12 15:48:01

QNo.9267327

困ってます

質問者が選んだベストアンサー

5%がいちばん考えやすいでしょう。
まず、1円の商品を買うと消費税込みの値段は1×1.05ですから1.05円になります。小数点以下を切り捨てると1円ですね。
2円だと2×1.05で2.1円です。切り捨てて2円。
これを続けていくと、小数点以下は0.05、0.1、0.15、0.2…と増えていきますね。
そして、切り捨てたあとの値段、つまり消費税込みの値段は1円、2円、3円、4円と増えていきます。
そして、19円の商品に消費税をつけると19×1.05で19.95となりますね。切り捨てると値段は19円です。
そして、その次の20円に消費税をつけると20×1.05で21円となります。これは小数点以下の数字はないので切り捨てる必要はありません。そのまま21円です。
ということは、消費税込みの値段には20円はない、ということです。19円の次は21円なのですから。

つまり、小数点以下の数字が0.05円ずつ増えてゆき、やがて0.95になって、そして次に0になる、その間の数字がないということになります。
そして小数点以下の数字が0になるということは、もとの値段×1.05が整数になるということですから、21の倍数になるということです。
そして、その前の数字(つまり1小さい数字)が、消費税込みの値段としては出てこない数字なのですから、求める数字は21の倍数-1だということになります。
つまり、値段として出てこないのは21-1の20円、42-1の41円、63-1の62円…ということになります。

同じように考えると、消費税が3%の場合は、もとの値段×1.03が整数になればいいのですから1.03の倍数が整数になる最初の数を考えて103円を出し、それより1小さい102円は出てこない、と考えればいいことになります。
確かに、100円の商品に消費税をつけると100×1.03で103円ですが、99円の商品は99×1.03で101.97で、切り捨てると101円になりますから、102円は出てこないことになりますね。
というわけで、消費税が3%の場合は103の倍数-1を考えればいいんだ、ということになりそうですね。
102、205、308…と続く数字です。
これは正しいのですが、実はまだ他にもあるんです。ここが面倒なところです。

消費税が3%の場合、1円の商品だと1×1.03で1.03円、2円の商品だと2×1.03で2.06円になりますね。つまり小数点以下は0.03円ずつ増えます。
そして、33円の商品の時に33×1.03で33.99円になります。切り捨てると33円です。
そして次の34円のときに34×1.03で35.02円になりますね。切り捨てると35円です。
だから34円は出てこないんです。
さらに、66円のときは66×1.03で67.98円。切り捨てると67円です。
そして次の67円は67×1.03で69.01円。切り捨てると69円です。
だから68円も出てきません。

つまり、103の倍数-1の102円の前に、34円、68円のふたつがあるのです。
そして、規則性の性質から考えて、このあとは104から206までの間に3つ、207から309までの間に3つ、と続いていくことになります。
102の次は103+34で137、103+68で171、そして206-1で205ですね。
実際の計算では34、68、102のそれぞれに103を足していけばどんどん書き出せます。

8%については御自身で考えてみて下さい。1.08×25が27になる、ということだけお伝えしておきましょう。

投稿日時 - 2016-12-13 13:27:05

お礼

とてもよくわかりました。ありがとうございました。

投稿日時 - 2016-12-13 22:27:11

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回答(3)

ANo.3

#1です。

#2さんが色々と書いてくれたので,それ以外の話をします。
消費税が3%のとき
税抜1円なら,1.03円を切り捨てて税込1円
税抜2円なら,2.06円を切り捨てて税込2円
税抜3円なら,3.09円を切り捨てて税込3円
途中省略して
税抜33円なら,3.99円を切り捨てて税込33円
税抜34円なら,35.02円を切り捨てて税込35円
途中省略して
税抜66円なら,67.98円を切り捨てて税込67円
税抜67円なら,69.01円を切り捨てて税込69円
途中省略して
税抜99円なら,101.97円を切り捨てて税込101円
税抜100円なら,103.00円を切り捨てて税込103円
ここまでで税抜で1円から100円まで100通りを考えたのですが,税込金額は1円から103円まであります。税込金額も100通りであるはずですから,ここまでに出てこない金額が3通りあるはずです。
その出てこない金額がいくらなのかも,かなり規則的ですから容易にたどり着けるのではないですか?
消費税が5%のときも同様に,税抜1円から100円までで税込1円から105円までですから,出てこない金額は5通りです。
消費税が8%のときは,税抜1円から100円までで税込1円から108円までですから,出てこない金額は8通りです。
これを念頭におけば,漏れがあったとしても気がつくでしょう。

税抜で100円を超えるところは,考えるのがもっと簡単です。
税抜で101円から200円までは,税抜100円を引き算して考えると,全く同じ規則性で「出てこない金額」が見つかります。
税抜で201円から300円までは,税抜200円を引き算して考えると,全く同じ規則性で「出てこない金額」が見つかります。
以下同文ですから省略します。

投稿日時 - 2016-12-13 15:04:59

お礼

とても丁寧な説明をありがとうございました!

投稿日時 - 2016-12-13 22:28:30

ANo.1

中学受験と言う事なら,小さい方から調べていくのが早いと思う。
3%なら34円,68円,102円がすぐに分かって,その後はそれぞれに103円を加えたものになります。
3%なら20円,41円,62円,83円,104円がすぐに分かって,その後はそれぞれに105円を加えたものになります。
8%なら13円,26円,40円,53円,67円,80円,94円,107円がすぐに分かって,その後はそれぞれに108円を加えたものになります。

投稿日時 - 2016-12-12 16:31:21

補足

「3%なら34円・・・」など、もう少し説明をいただけたら助かります。

投稿日時 - 2016-12-13 00:31:17

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