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算数 教えてください

問題
1×2×3×・・・・・・×20を計算したときの答えの末尾に0は何個並びますか

解説
20÷5=4

答え


なぜ20÷5なんですか?
よろしくお願いします

投稿日時 - 2016-09-11 11:15:58

QNo.9227466

困ってます

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回答(4)

ANo.4

数の性質を理解すると分ります。
一の位が2と5の数、この掛け算同士で末尾に0がつきます。
一の位が0の数、この数で末尾に0がつきます。

この性質を理解して、例えば、
1×2×3×4なら、2と5、0が無いので、答えは0(末尾に0は無い)
1×2×3×4×5なら、2と5があるので、答えは1
1×2×3×・・・×9×10なら、2と5、10があるので、答えは2
1×2×3×・・・×14×15なら、2と5、10、12と15があるので、答えは3
1×2×3×・・・×19×20なら、2と5、10、12と15、20があるので、答えは4

つまり、この規則性を発見できれば、5で割ると答えが出るという問題です。
学校ではなかなか教えませんが、入試ではそういう発想は、必要です。

投稿日時 - 2016-09-25 10:56:12

「答えの末尾に0は何個並びますか」とは、「この計算式の中で10が何個作れますか」ということです。
10=1×10または2×5であり、このほかの数の組み合わせでは、かけ合わせても10にはなりません。
20÷5=4とは、1~20の中に5の倍数が4個あるということで、5、10、15、20の4個になります。
5×20=5×2×10=10×10、15×2(偶数ならば何でもいい)=3×5×2=3×10、残りの5の倍数は10。
これから、この計算式の中で10が4個作れるので、答えは4になります。

投稿日時 - 2016-09-11 12:12:15

 #1です。

 すみません、誤記がありました。

誤> もう少し考えてみると、2×5(や5×2)で10で0が1つ、『4』2×2×5×5=100で0が2つ、…
(『 』は間違い箇所)

 42×ではないですね、100になりません。

正> もう少し考えてみると、2×5(や5×2)で10で0が1つ、2×2×5×5=100で0が2つ、

 申し訳ありませんでした。ついでですので、テストの答案風に簡潔に書き直してみます。

 1から20までをかけたとき、かけて10になる2×5が何回でてくるかが末尾の0の個数になる。2の倍数は1~20には20÷2=10だから、かける数の2は10個以上ある。

 5の倍数は20÷5=4で、5が2つの5×5=25は20より大きいから、かける数の5は4個ある。

 だから、少ないほうの4個が末尾の0の数になる。

 答:4個。

投稿日時 - 2016-09-11 12:04:05

 かけ算して末尾に0が出るのは、どういう数をかけた場合なのか、考えてみます。九九を思い出せば、末尾が0になるのは、2, 4, 6, 8と5をかけたときだけですね。

 つまり、2の倍数と5をかけたときということになります。九九は1桁のかけ算ですが、2桁まで考えてみると、2の倍数と、5,10,15,25をかけても末尾が0になります。ですので、2の倍数と5の倍数をかけたら、末尾に0が出てくると分かります。

 もう少し考えてみると、2×5(や5×2)で10で0が1つ、42×2×5×5=100で0が2つ、とかけ算で「2と5のペア」の個数分、同じ個数の0が末尾に出てきます。2の倍数や5倍数以外を考えると、末尾に0が出ないことも分かるでしょうか。

 つまり、1から20をかけると言っても、末尾に何個の0が出てくるかだけ考えればいいのなら、2の倍数と5の倍数だけ考えればいいのです。1から20までだと、以下のようになります。

2×4×5×6×8×10×12×14×15×16×18×20

 これを、2の倍数、5倍数が分かるように書いてみます。それ以外の倍数も分かるようにしておきます。

2×(2×2)×5×(2×3)×(2×2×2)×(2×5)×(2×2×3)×(2×7)×(3×5)×(2×2×2×2)×(2×3×3)×(2×2×5)

 今は末尾の0の個数だけを求めたいのですから、2と5のペアだけ考えればいいので、2と5以外を省いてみます。

2×(2×2)×5×(2)×(2×2×2)×(2×5)×(2×2)×(2)×(5)×(2×2×2×2)×(2)×(2×2×5)
=2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×5×5×5×5

 整理してみると2はやたら多いですが、5は4つしかありませんね。これは1~20で5の倍数が5,10,15,20と4つしかないからです。

 5×5と5が2つの25は範囲外ですから、1~20をかけたとき、5は、5の倍数の個数分しかかけていないわけです。そして、その4つの5で末尾を0にできるかけ算のもう一方の数である2は4つどころではなく、充分たくさんあります。

 2と5をかければ10になり、それが末尾の0を作る。そして、10になるかけ算の数だけ、末尾の0が作られます。

 ということは、1~20の中で5の倍数がいくつあるか数えられれば、末尾の0の個数が分かるわけです。念のため思い出すと、5が2つ出てくる25=5×5は1~20の中にありません。
(もし、1~20ではなく、1~30だったら、25が5×5と、5が2つにある数を考慮する必要がありました。1~130だったら、125=5×5×5と5が3つになる数を考慮しないといけない。でも、設問は1~20なので大丈夫。)

 5の倍数が、1~20の中にいくつあるか求めるのは簡単ですね。20÷5=4で4個です。2×5を作るための2の倍数は20÷2=10で、10以上あります(4=2×2などを考えると、必ず10より多い)。

 ですから倍数の数が少ないほうの5の倍数の個数さえ分かれば、実際にかけ算をしなくても、末尾に0が4個出ると分かるわけです。

P.S.

 模範解答がちょっと不親切かなと思います。なぜ5の倍数の個数だけでいいのか書いておく必要があります。テストの答案だったら、20÷5=4という式をどうして書いたのか、説明くらいはするでしょうから、模範解答でもテストの答案になるくらいには書いておくべきでしょう。

投稿日時 - 2016-09-11 11:55:08

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