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締切り済みの質問

ローレンツ力、誘導起電力

今、「理解しやすい物理」を読んでいます。

その中の「電磁誘導と電磁波(第4章)」、ふるい参考書なので今は書き換えられているかもしれません。

ここに、ローレンツ力による電磁誘導の解釈というのがあります。

つまりは棒電池のはなしなのですが、

まず、導体棒の中の自由電子にはたらくローレンツ力はf=evB
eは電子の電荷、vは導体棒の速さ、Bは磁場の磁束密度。

参考書にはこうあります。

「ローレンツ力を受けると、自由電子はB端に集まるのでA端が高電位、B端が低電位となり、AB間に電位差が生じるので、導体内部にはA→Bの向きの電場が生じる。そのため、AB間の自由電子にはB←Aの静電気力がはたらく。この静電気力とローレンツ力がつりあうと、自由電子の移動はとまる。このときのAB間の電位差をV(V)とすると、導体棒の中の電場は、E=eV/lであるから、自由電子が受ける静電気力はeE=V/lとなる。この力とローレンツ力が等しくなるから、V=Blvとなる。」

lとはたぶん棒の長さだと思います。A、Bというのは、棒の端のことです。

文中に、「そのため、AB間の自由電子にはB←Aの静電気力がはたらく。この静電気力とローレンツ力がつりあうと、自由電子の移動はとまる」

とありますが、

ここで質問です。

ローレンツ力によって、自由電子が棒の一方の端に寄っていきます。

すると、このことで電場が生じるのはわかるのですが、

仮にローレンツ力と静電気力が釣り合うとしても、これは加速度が0になるだけなので、

なのになぜ自由電子の動きが止まるのか。

それともう一つの疑問ですが、

ローレンツ力と静電気力が釣り合うとしても、これは加速度が0になるだけで、

電子は導体棒の中を移動し続けるのですから、
そうするとさらに導体棒の端と端の電位差が大きくなり、静電気力はさらに大きくなるので、

ローレンツ力と静電気力のつり合いは一時的なものなのではないのでしょうか。

いや、そうなのかもしれないが、今度は静電気力が大きくなるので、逆の加速度が生じ、

段々と電子の速度は小さくなる。すると、電子は速度がやがて0となる。この時、

ローレンツ力は一定、それと静電気力のほうは、電子の速度が0で移動しないので、

棒の端と端の電位差もそれ以上大きくはならない。

けれど、ここでローレンツ力と静電気力は釣り合っている訳ではありませんから、今度は、

電子が逆向きに移動し始める。つまり、電子は単振動するのではないでしょうか。


と以上、推測です。

それと、直観的にはわかるのですが、なぜ、導体棒の中の電場は一様といえるのでしょうか。たとえば、棒の中の電子分布はどのようなのでしょうか。

これをわかりやすく説明できる人はいませんでしょうか。

宜しくお願いします。

投稿日時 - 2015-07-12 04:24:06

QNo.9010714

困ってます

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回答(11)

ANo.11

No.7 にいただいたコメントに関してです。

>棒電池は電荷の逃げ場がありませんので、電荷はローレンツ力と静電気力が釣り合う時点で動けなくなりますが、これに導線をつないで回路を作ると、電気が流れると思うのですが、その際、棒電池の中の電荷の偏りは解消されないという意味でしょうか。

棒電池導体の抵抗が負荷の抵抗に比べて十分小さければ、接続点近傍を除き、電荷の偏りは変化しない筈です。負荷電流によって電荷の偏りが解消されそうになれば、すなわち静電場が誘導電場に劣れば、穴埋めが生じます。負荷が突如として接続されたなら、電荷分布の過渡現象は生じます。

>確かに、導線へ出ていった分、電荷はまたその分、反対の極から入ってくるのですから。

化学電池あるいは発電機とはそういったものです。電荷(電流)に電位を与える仕事をしているのです。

No.9 にいただいたコメントに関してです。

>電池棒においても電池の代わりに棒を動かしローレンツ力を発生させれば、電荷の偏りによる静電気を考えなければ電荷はやはり、等速運動をするはずです。ですから、これにローレンツ力と同じ大きさで反対の力、即ち(電荷の偏りによる)静電気力を加えるといいますか、この静電気力がローレンツ力と釣り合うとき、電荷は動きを止めるということがいえると思います。

上記部分、等速運動の根拠として、電子の格子衝突由来の電気抵抗を採用されたようですが、現実には違う可能性が高いので、それに触れておきましょう。一般論としてバネに錘をいきなり吊るせば最終平衡点を中心に減衰振動します。装置を油のような粘性流体に浸してそれを行えば、振動せずに最終平衡点に到達するように出来ます。しかし棒電池の導体抵抗の現実は、この油ほどの効果は果たしていないことに注意が必要です。無負荷の棒電池は、空気中のバネ振り子のような感じです。電気抵抗はバネの損失、放射損失は空気抵抗損と考えて下さい。振動は徐々に減衰します。もし過渡現象に立ち入るのであれば、インダクタンスに関する知識が必要です。平衡点から行き過ぎない理由として導体抵抗を記憶するのは、危険です。インダクタンス(コイル)とコンデンサによる振動現象は、通常の電池の回路でも生じる、日常です。

投稿日時 - 2015-08-07 18:23:16

お礼

いろいろと考えているうちに締め切りとなってしまいました。

等速運動の根拠については熟考する必要がありそうです。

過渡現象については、また別の機会に質問を立てようと考えています。

実は、素朴な疑問が湧きました。

ローレンツ力と電荷の偏りによる静電気力が釣り合うまでは電荷が動いていますので、動いている間はジュール熱が発生しています。それと、電荷は移動するほどにクーロン力による位置エネルギーを得ています。

即ち、棒を動かすということは棒に外力を加え物理でいう仕事をするのですから、
その仕事がジュール熱や電荷のクーロン力による位置エネルギーに変わったと思うのです。

しかし、ローレンツ力と静電気力が釣り合った後は電荷は動かないはずです。

だとすれば、棒に加えた外力がした仕事はどこにいったのかという疑問です。

電荷は動いていないのですから、ジュール熱も発生しないでしょうし、位置エネルギーも増大しないはずです。

ですが、締め切りになりましたので、これはまた質問を立てたいと思います。

今回は、いろいろと詳しい回答をいただきありがとうございました。

投稿日時 - 2015-08-11 05:07:17

ANo.10

 #8です。なんとな~く納得して頂けましたか?(^^;)。

 前も書きましたが、電磁気学はもともと電磁気的な物体の理論でした。なのでちょっとでもいいから、物質の構成(物性論)を考えないと、納得できない事項が多々あります。

 でもそれを明確に言ってくれる本は、あまりないです。

投稿日時 - 2015-08-06 09:17:55

お礼

結局、一月ほどお付き合いいただきありがとうございました。

いろいろ私の理解不足でてこずらせてしまったと思います。

回答の内容はいろいろかいてありますので、今後も参考にしたいと思います。

投稿日時 - 2015-08-07 00:49:28

ANo.9

No.7 の続きです。
棒の長さが (1/2)波長となる振動のイメージです。棒が急停止するとか、外部磁界が突然零になれば、下記URLアニメーションのような振動が生じます。振動に強い関心をお持ちのようですので、一応ご紹介しますが、棒電池の理解に必須とは思いません。

http://www-antenna.ee.titech.ac.jp/~hira/hobby/edu/em/halfdip/halfdip-j.html
青丸が電子の動きです。往復距離は現実の10の十数乗倍、誇張された感じでしょう。

https://en.wikipedia.org/wiki/Dipole_antenna
二つのアニメーション、後のが良いでしょう。電荷の動きは青矢印、電荷密度は、赤い図形に類似です。中央の電源Voは短絡に置き換えてください。

棒電池としてイメージされるスケールでは、電荷が移動する際に棒の抵抗によって消失するエネルギーより、空間に電波が放出される事により消失するエネルギーが勝ります。棒の長さが 15cm なら 周波数 1 GHz の減衰振動が生じます。10 ns ごとに振幅が (1/3) になるとして、1 μs 後には、10のマイナス48乗オーダーです。

自由電子の動きというのは、個々の電子が原子核に束縛されているイメージではありません。集団として滑らかな性質を持っています(半導体接合の障壁などに出くわさない限りは)。棒電池のイメージですと、原子の束縛力と電子の質量で決まるような振動ではなく、静電容量とインダクタンスで生じる振動のような、電子集団の大局的な現象が観測されます。

投稿日時 - 2015-07-30 03:23:16

補足

ありがとうございます。


アンテナのことはやったことがありませんので、わかりませんが、お話とアニメーションからどういうものかはなんとなくですが想像できます。

話はかわりますが、「なぜローレンツ力と静電気力が釣り合うと電荷が動かなくなるのか」ということについて、

これは導線に電池をつないだ時に、なぜ電場が一様なのに導線の位置に関係なく電流が同じなのかというのと同じ疑問であると気づきました。

考えてみますと、電流が一定ということは導線を伝わる電荷は(実際は違うにせよ巨視的に見れば)等速運動をしていることになるのですから、これは電荷に加わっている力が釣り合っているのと同義です。ですから、電流を止めるには、反対向きの電圧をかければよいことになります。

同様に、電池棒においても電池の代わりに棒を動かしローレンツ力を発生させれば、電荷の偏りによる静電気を考えなければ電荷はやはり、等速運動をするはずです。ですから、これにローレンツ力と同じ大きさで反対の力、即ち(電荷の偏りによる)静電気力を加えるといいますか、この静電気力がローレンツ力と釣り合うとき、電荷は動きを止めるということがいえると思います。

投稿日時 - 2015-08-06 02:16:28

 #6です。イメージでは駄目でしたか。それから納得するためには、どんなに稚拙でもいいから物性論が必要だとも書きましたが、本当にやったんですね。わかりました。

 「そんな事考えても、テストの点数にはつながらないから止めな」とか、野暮な事は言いません。そんな状況でもなさそうですし(^^)。やるなら納得できるまでとことんやりましょう。ただし節度をもって(^^;)。

 まず単純化するために、あなたのモデルで静電気力がないとします。そのかわりにローレンツ力を、外部から与えられた電圧による静電気力におきかえます。一定のローレンツ力も、一定の静電気力も、電子の運動に対する効果は同じ、というのは良いですよね?。要するに、電池につながれた普通のR回路の導線状態です。

※原子核の束縛力も電気力なので、距離が遠くなると逆に弱まりますが、その違いは、ここではそんなに重要ではありません。

 電子は恐ろしく軽いです。よって電圧による静電気力が原子核の束縛力をちょっとでも上回れば、とりあえず電子は弾丸のように飛び出していき、静電気力によって等加速度運動すると考えられます。

 しかし飛び出した自由電子は、すぐに隣の原子核の束縛力の影響下に入り、その勢いをそがれるはずです。束縛力<電圧による静電気力 だったとしても。この効果を、多少定量的に見積もってみます(←これが私の節度を持ってです(^^;))。

 自由電子が隣の原子核の束縛力の影響下に入る事を、仮に「原子との衝突」と呼びます。実際それは、電気力によって原子核にぶらさがっている原子内電子まで考慮すれば、束縛力を介した原子との運動量交換だからです。

 どれくらいの運動量交換なのか?(衝突強度はいかほどか?)はとりあえずわかりません。わかりませんが、衝突頻度はどうでしょう?。それは原子の詰まり具合(密度)に比例するはずです(単純化すれば)。さらにそれは、自由電子の速度にも比例するはずです。

 原子の詰まり具合が一様なら、単位時間に出会う原子の数は、単位時間の走行距離に比例するからです。そして1回の衝突で失う運動量は、平均的に同じだと仮定します。そうすると、次の運動方程式になると想像できませんか?。

  ma=Ee-kv   (1)

 ここにmは電子質量,aはその加速度,Eは電池の電圧による電場,eは電子の電荷量,vは電子の速度で、kは(不明だが)導線の材質のみによって決まる定数・・・、となります。

 (1)を微分方程式として解くと、

  v(t)=Ee/k×(1-exp(-kt/m))   (2)

という解が得られます。ここでtは時間,速度vの初期値は0としました。加速前の自由電子は原子核に束縛されてその周りを等速円運動するので、その平均速度は0よね、という発想です。

 (2)においてk>0なので、t→+∞では、

  v(t)=Ee/k   (3)

になりますが、mが恐ろしく小さいのでk/m>0の値は恐ろしく大きく、体感としては一瞬で(3)になります。(3)より、自由電子が一定の速度で走るとは、定常電流という事です。

 よって比例定数kの意味をもう少しだけ物性論的に追及し、電場Eと電圧Vの関係も考慮すると(3)は、

 I=V/R   (4)

と同等である事が導けます。以上が古典論における、マックスウェル方程式と運動方程式とから、オーム先生のオームの法則を導く全貌なのですが、そんなに難しくないですよね?(^^;)。

 今回のケースで言えば、(3)においてEeを、「Ee=ローレンツ力-電荷の偏りによる静電気力」に置き換えても良い、という事です。「Ee=0」なら、(3)より自由電子の平均速度は0になります。もちろん局所的には自由電子は、右往左往してるんですけれど、巨視的な平均速度しか測れない電流計では、電流0という表示が得られます。

 結論としては、あなたのモデルには、自由電子の原子との衝突頻度という考えが欠けていた(それは自由電子の運動状態に依存する)、という事になると思います。

投稿日時 - 2015-07-29 20:17:41

補足

ありがとうございます。

オームの法則に何度も言及されていますが、考えてみますと、「なぜ、ローレンツ力と静電気力が釣り合うと電荷が動きを止めるのか」という問題は、なぜ、オームの法則が成り立つかというのと同じ疑問だと気づきました。


というのも、電池につなぐことで導線に電場が生まれ、これによって電荷は加速されるはずなのに導線のどの部分でも電流の強さが同じというのはF=MAの法則に反するわけですから、(なぜならば、電荷が加速して速度を増しているならば、導体の断面を通過する電荷の数は大きくなるはずです。)その理由も考えねばなりません。

電流が同じだということは電荷は巨視的に等速運動をしていることになるのですから、電荷に加わっている力が釣り合っているということになります。ですから電荷の動きを止めるのならば、反対の電圧をかければよいことになります。



これと同じでローレンツ力によって加速する電荷も、実際には原子核などに衝突して、その都度、速度を失い、巨視的には等速運動をしていると推測できます。

ということは電荷に加わっている力は釣り合っているのと同義です。

ですから、この電荷の動きを止めるには、ローレンツ力と同じ反対向きの力を加えれば電荷の動きはとまるはずです。

ということは、電荷の偏りによる静電気力がローレンツ力と釣り合うとき電荷は動きを止めるといえます。

投稿日時 - 2015-08-06 02:58:41

ANo.7

No3, 5 にいただいたコメントに関してです。

電荷、誘導電場、電荷による静電場、この3つの概念が正確に把握できれば、現象は理解可能かと思います。まず、完全導体棒が磁力線を切りながら等速で運動している定常状態を考察します。なお、棒の長手方向をx方向と記述します。

1)電荷
質問文には、電子分布なる語が出てきますが、より便利に「電気的中性からのずれ分」を電荷とし、その位置xに関する変化を電荷密度分布と定義しましょう。このずれ分ですが、直径 1 mm、長さ10 cm の銅棒、両端 1 V の設定ですと、自由電子密度の 10のマイナス15乗オーダーの極めて僅かな濃度変化に相当します。

2)誘導電場
質問文中のローレンツ力 f=evB ですが、両辺をeで割れば、電場と捉えられることに着目し、それを誘導電場と呼びましょう。磁場が一様ならば、棒の位置xにより誘導電場のx方向成分が異なる事はありません。

3)電荷による静電場(電荷由来静電場)
誘導電場により電子が移動し各点電気的中性が崩れると、すなわち電荷が生じると「電荷密度分布に対応した静電場」が誘導電場に重畳して形成されます。電荷密度分布は、棒内で両者電場が相殺するように決定されます。電場がある限り、電子の移動は終息しないからです。前記誘導電場の一様性を鑑みれば「電荷由来静電場のx方向成分」も位置xによらず一様になります。

4)電荷密度分布
電荷由来静電場のx方向成分が位置xによらず一様になる為には、どのような電荷密度分布が実現されるべきでしょう。距離を隔てて存在する正負二つの電荷からなる電場では、両者電荷をつなぐ直線上で、一定にはなれません。つまり正負電荷は決して両端まで行って停止するといった類のものでは無いのです。電荷密度が直線傾斜であろうことは、計算するまでも無く想像でき、また、あなたもコメント欄で試みられているようです。ただその直観を記述するのは難しいので、無味乾燥な方法ですが、回答No.5の添付図をどのように作成したかに触れておきます。なお「電荷濃度」は、今回定義した「電荷密度」と読み替えて下さい。

任意点の電場は、棒の各点電荷からの電場の和ですが、全体を細い円管としたほうが、特異点の解消に好都合です。また電場の計算はベクトルですが、電位の計算はスカラーですみますから、「電場一定」は「電位傾斜直線」と置き換えたほうが計算量が節約できます。位置x' の電荷密度を q(x')と書きます。位置xの電位V(x) は、 x'に存在する長さdx'、半径aの円管電荷 2πa q(x') dx' がxにもたらす電位の総和です。つまり、
V(x) = K ∫ q(x') / √( (x - x')^2 + a^2 ) dx'、ここでK:まとめた単位整合用係数
このV(x)が直線傾斜となるような、q(x)を求めるべく、繰り返し修正計算させました。図の両端電荷密度ピークは気になさらないで下さい。末端の形で変化する類のものです。本質は中央の傾斜部です。

参考までに負荷を接続した場合を考えてみます。棒がレール上を滑走し、レールに負荷抵抗が取り付けてある図はよく見かけます。負荷抵抗には誘導電場は生じていませんから、電荷由来静電場の積分値である電位のみが加わる事になります。電流が流れて棒の電荷密度分布は解消されるかと思いきや、誘導電場と電荷由来静電場の相殺は鉄則です。電荷密度分布は不変のまま、循環電流が供給される事になります。


次に、振動の話ですが、本件は、いわゆる古典電磁気学です。電場、磁場、電荷の古典振動を解析対象とすれば理解可能な「理論問題」で、電荷が導体から飛び出す余地はありません。電子や原子核といった構造や、電子の量子力学的揺らぎも、解析対象外です。現実的にも電子の電界放出が生じる 1 GV/m を超すような電場条件にはなりませんし、大気が絶縁破壊する 3 MV/m を超すこともありません。電子質量の慣性を考慮する必要もありません。その変位は(1)から類推されるように、棒の長さの10のマイナス15乗オーダーの極めて僅かな距離にすぎないからです。

さて、前述の定常状態は安定平衡点です。その状態から成長振動が勝手に生じる要素はありません。振動の引き金と成り得るのは、速度の急変、磁場の急変など、誘導電場と電荷由来静電場の不均衡発生です。すると、電荷密度の再配分の為に電流が流れるのですが、その過程の時々刻々においても、導体棒の中の電場は零に保たれています(鉄則です)。外部磁場由来誘導電場と電荷由来静電場で相殺されなかった残差は「前記電流が作る周回磁場の時間変化 dφ/dt によるx方向電場」によって相殺されているのです。この周回磁界、つまり電流は正弦波形で上昇し、頂上に達して減少に転じますが、その過程で安定平衡点を越え、余剰な電荷を運んでしまいます。ここまでを半サイクルとして、原理的には振動が生じ得ます(ご提示の本には分布定数線路かアンテナの話はありませんか)。ただし、振動は放射損失により永続的ではありませんし、何より、その事象の取り込みは、棒電池の本質の理解にとって、むしろ混乱のもとになるかと思われます。

以上、間違いが無いと良いですが、不可解な点はご指摘ください。

投稿日時 - 2015-07-25 13:23:29

補足

>電流が流れて棒の電荷密度分布は解消されるかと思いきや、誘導電場と電荷由来静電場の相殺は鉄則です。電荷密度分布は不変のまま、循環電流が供給される事になります。<

棒電池は電荷の逃げ場がありませんので、電荷はローレンツ力と静電気力が釣り合う時点で動けなくなりますが、これに導線をつないで回路を作ると、電気が流れると思うのですが、その際、棒電池の中の電荷の偏りは解消されないという意味でしょうか。それともやっぱり解消されるのでしょうか。

確かに、導線へ出ていった分、電荷はまたその分、反対の極から入ってくるのですから。想像ですが。(実際ここらへんが意外に難しいです。)

投稿日時 - 2015-08-06 02:28:21

 #1および#4です。オームの法則を出したので、混乱されたかも知れませんね。すいません不用意でした。

>・・・自由電子の移動が止まるということは電流が流れていないことを意味する・・・中略・・・参考書のV=Blvというのは瞬間的な数値と解するべき・・・

 「自由電子の移動が止まる」=「電流は流れていない」はその通りですが、電流が流れていなくても、電圧と電場はあって良いんです。

 じっさい直流で充電したコンデンサーはそうですよね。交流ならコンデンサーを介して電流が流れるなんて時々言われますが、交流でも極板間を電子が走ってる訳じゃありません。

 こう考えればどうですか?。電荷(電子)が1個でもあれば、その周囲に自由電子の流れがなくても電場が生じ、その強さは電圧(電位)という値で表せます。

 棒電池も同じです。ローレンツ力をかければ導線の端に自由電子が集まるので、端は「-」に帯電します。自由電子を奪われたその他の部分は単純化すると、一様に「+」に帯電します。電場Exは「+」から「-」に向かって導線方向に沿う形で生じます。それが一様である事を示すには、計算が必要ですけれど。

 ローレンツ力によって端部に達した自由電子は、この前言った理由から導線からは出て行かず、そこにとどまります。そうするとEx<FL(ローレンツ力)の間は端部周辺にどんどん自由電子が流れて来て貯まり、Exは大きくなり続けます。この間には実際に電流が流れます。一定量電荷が貯まればいつかはEx=FLになりますが、それまでの時間はかなり短い(体感では一瞬の)はずです。

 ですがこの前言ったように自由電子は、弾丸のようにぶっ飛んで行く訳ではありません。出来るのは電子軌道を乗り換える事だけです。最外殻電子の電子軌道の乗り換えは、じつはローレンツ力なんかがなくても常に起こっています。ただし乗り換え傾向は、空間的に完全にランダムと考えてたぶんOKです。

 つまり電場やローレンツ力がなくても、導線のミクロな微小部分には常に電流が流れてる訳ですが、傾向が完全にランダムなので、我々が電流計で計るようなマクロレベルの電流としては、その平均は0です。

 電場やローレンツ力がかかった時、乗り換え傾向に偏りが生じ、自由電子の電子ガス(というイメージです)の密度は、導線端部が次第に高くなっていきます。でも基本は「自由電子といえども原子に束縛される」ですから、自由電子の駆動力って「ローレンツ力-原子による束縛力」のほんのちょっとの余りなんですよ。ちょっとの余りで原子から遊離したとしても、すぐに隣の原子にトラップされるので、自由電子ガスはじわじわとしか移動しません(体感的には速いけど(^^;))。そういう訳で「Ex=FL」となった瞬間に、自由電子ガスの移動は停止します。

 もちろん自由電子は「Ex=FL」になっても単振動というか微小振動はしてると思いますよ(自由電子ガスの移動は厳密には統計量ですから)。でも上記のようなマクロな(おおざっぱな)レベルでは、停止してると考えて良い気がします。

 もう一言いえば、初等電磁気学=マックスウェル理論は、歴史的には「電磁気的な物体の理論」でした。なので上記のように無茶苦茶に稚拙でも良いから、とにかく「物性論」を考えないと、納得できない部分はけっこうありますが、そこをはっきり書いてくれてる本は、余り見ません。

 「電磁気的な物体の理論」はその後、原子構造論につながり、最後には量子力学へと移行します。


 最後に一般化されたオームの法則についてです。一般化されたオームの法則は、じつはオーム先生のI=V/Rを数学的に一般化しただけのもの、なんです。

 ただし(一般化されたものも含む)オームの法則については付帯条件があって、それが成立するのは自由電子がまさに自由に動ける時のみです。導線の端部帯電は、まさに「自由に動けないケース」だったので、不用意でした。

 砂川先生の「理論電磁気学」にはこうあります。

 電磁場はマックスウェル方程式で記述できる。しかし電場,磁場の発生源である電子(電荷)は物質で、電場,磁場は電子の運動を決定し、逆にその運動が電場,磁場の変動へと反映される。マックスウェル理論は本当は、電磁場理論とニュートン力学の2本立てで、初めて完結する。

 従って我々は本来、物質中の無数の電子についての運動方程式とマックスウェル方程式を両方解かねばならないのだ。しかしそれは実際上不可能である。

 そこで我々は、オーム先生によるオームの法則を現象論的帰結として受け入れ(実験結果!)、それを数学的に一般化した「一般化されたオームの法則」を、運動方程式のかわりに使用する(「オームの法則」があれば、運動方程式による結果を事前予想できる!)。

 ちなみに単純なケースでは、電磁気学の法則とニュートンの運動方程式を連立させた結果として、オームの法則を比較的容易に再現できます。

 自分は上記を読んだ時に、目から鱗が落ちました(^^;)。

投稿日時 - 2015-07-24 19:25:17

補足

ありがとうございます。
もう2週間が過ぎてしまいました。

考えに整理がつかないのですが、
回答を拝見する限りでは、単振動をするという私の推測は違っていたようです。

それで、問題は単振動しないとしても、参考書の説明では説明が付かないのではないかと考えています。つまり、ローレンツ力と電荷の偏りによる静電気力だけですと、電荷は単振動をしなければ、運動の法則にあっていないと思うのです。

ということは、その他の力を想定しないと説明がつかないということでちょっと考えていました。


自由電子の駆動力って「ローレンツ力-原子による束縛力」のほんのちょっとの余りなんですよ。ちょっとの余りで原子から遊離したとしても、すぐに隣の原子にトラップされるので、自由電子ガスはじわじわとしか移動しません


とありますが、「原子による束縛力」を分子間力ではありませんが、
一つのばねとみなしますと、ばねに重りをつけてゆっくり手を離したとき、

弾性力と重りの重力が釣り合います。この重りの重力をこれは一定ですから、ローレンツ力に見立て、弾性力を「束縛力」に見立て、

そしてばねの先端が負に帯電していると仮定して、そしてばねの下にはやっぱり負に帯電している板が置かれていると仮定して、

ばねが伸びて板に近づくと板からの反発を受けるということを想定します。

このとき、ばねが伸びて反発を受けることを静電気力がだんだん大きくなることと見立てます。(ややこしいですが)



このように考えると実はローレンツ力(重りの重力)とつりあっているのは「束縛力(弾性力)+『ほんのちょっとの余り(静電気力)』」なのではないでしょうか。

※しかし、このモデルですと弾性力は自然長からの変位に比例しておおきくなりますが、クーロン力というのは距離の二乗に反比例しますから、アナロジーとしてはいまいちです。


もし、

>自由電子の駆動力って「ローレンツ力-原子による束縛力」のほんのちょっとの余り<

だとしますと、



ローレンツ力が静電気力と同じになった時点で電荷は逆方向に動き始めるのではないのでしょうか。なぜなら、{ローレンツ力<静電気力+束縛力}という不等号が成り立つのでは。

といいますか、「ローレンツ力=ほんのちょっとの余り」と考えるべきなのでしょうか。つまり、束縛力がローレンツ力よりはるかに大きいと考えるべきなのか。


※今、空気中に負の電荷を帯びた微小粒子が浮遊していることを想像しています。同様に正の電荷を帯びた微小粒子も。そこに正に帯電した板なんかを近づけまして電荷の不均衡を作り出します。そして、偏りが電場を作り出すと想定しまして、微小粒子といえどもある程度の質量を想定しまして、重力の影響を逃れないけれど、地面には落ちないというのをイメージしています。これだと、さすがにこの粒子が単振動をしないと思うのです。しかし、なぜ単振動しないのかと考えますと、空気分子にぶつかるからといえましょう。

ばねの単振動は空気との衝突を考慮する必要がないと思いますが、空気中の微粒子などブラウン運動をしているようなものは空気分子との衝突の影響は無視できません。

導体中ではどう考えればよいかと考えましたが、例えば、ローレンツ力によって速度を得た電荷が他の電子、つまり最外殻の電子でない電子と衝突したり、中には原子核と衝突したりすることで、これが電荷が動きを止める原因ではないかと考えます。

とすると、必ずしも原子核の束縛力だけではないと考えられます。

けれど、ここらへんがよく分からないところなのです。

投稿日時 - 2015-07-29 03:37:40

ANo.5

回答No.3の続きです。
電子分布(電荷濃度)による長手方向電場が一様になるよう、濃度の収斂計算を行ってみました。図を添付します。棒の長さの96%で電場平坦性2%が実現されています。端点で電荷濃度が急上昇しますが、前にも記述しましたように、ここは特異点です。端点が磁場の外にあるモデルを想定すれば、このピークは解消される筈です。つまり、分布の本質は、一次の濃度変化だと思います。

投稿日時 - 2015-07-14 15:59:34

補足

わかりやすい図をありがとうございます。

この図から、電荷の濃度が一次関数的に増加しているということは、電荷分布もまたこれに同じとみていいと思います。というか、こういうところも実は自身がないのですが。

ところで、電場の一様性なのですが、

まず、電場の大きさをガウス線の本数に置き換えて考えてみますと、棒の位置によってその本数に違いがあるようにおもうのですが、勘違いかも知れません。

実はここがどう考えるか、あるいは、計算するのかよく分かりません。

特異点を除けば、一定距離動くとその分だけ電荷が増えるのですから、自由電子の濃度を、

正電荷に置き換えて考えます。そうすると、正負が逆になりますが、絶対値は同じですから、これで、ガウス線の本数を数えられると思います。

それで例えば1クーロンの正電荷をこの棒のある位置に置いてみます。想像です。そしてそこからある位置まで動かしてその位置での濃度から元の位置での濃度との差を考えると、ガウス線の本数になるかと思います。たぶんですが。

そうすると、この図からすると電場は一様とみなせそうですが、いかがでしょうか。

とすると、「棒の位置によってその本数に違いがあるようにおもうのですが、勘違いかも知れません。」はやっぱり勘違いか。

わかりにくくてすいません。

投稿日時 - 2015-07-24 00:24:00

 #2です。引き続き誤りを発見しました。

 #1で、一般化されたクーロンの法則とか普通のクーロンの法則とか書きましたが、一般化されたオームの法則,普通のオームの法則でした。

 ・・・申し訳ない。

投稿日時 - 2015-07-14 12:10:38

お礼

何度もありがとうございます。

しかし、このオームの法則というのが突き詰めていくとけっこう難解だと思います。

投稿日時 - 2015-07-23 23:37:40

ANo.3

平衡から行き過ぎの要因としては、電子質量を想定していらっしゃるのでしょうか。しかし、現実サイズにおいては、インダクタンスによる電流の慣性効果の方が何桁も大きいのではありませんか。電子が移動するとき生じる、棒を周回する磁界の効果です。また電子がどれだけ動けば(分布濃度がどれだけ変化すれば)誘導電場(ローレンツ力)とつりあう定常位置なのかは分布静電容量で決まります。結局、ダイポールアンテナに類似、振動の最低次数は棒の長さに二分の一波長が乗るよう、生じそうです。棒が 15 cmなら約 1 GHzという事です。放射損により Q は数十程度ではないでしょうか。10 ns 後にはほとんど振動は消えてしまいます。このような立ち上がりで棒を動かし、切っ掛けを作り出すのは難しいでしょうから、現実にはこの振動は出現しないでしょう。

ちなみに、交流発電機にコンデンサを繋ぎ、軸をある角度範囲で急峻に動かせば、定性的に等価な現象を、低い周波数で捉える事になると思います。


>導体棒の中の電場は一様といえるのでしょうか。
負荷電流または導体棒の抵抗の少なくとも一方が零であれば、導体棒の中の電場は零と考えるのが普通です。この零は、ローレンツ力(誘導電場と言い換えても等価)と電子分布の変化が生み出す電場が各部相殺した結果です。それぞれの長手方向電場は一様だと思います。

>棒の中の電子分布はどのようなのでしょうか。
私には、解析的に解けそうに、ありませんでした。均衡を見つけるタイプのシミュレーションも、大変そうなので、代案として、濃度の関数を仮定し、それの作り出す長手方向電場成分の平坦性を見てみました。これなら数値積分だけですから簡単です。長さ直径比1万対1の非常に細い棒を仮定、電子濃度を、長手方向にランプ状(距離の1次)に変化させてみました。中央周辺で当該電場は一様になるようです。中央より30%の距離で、電場が 約2% 減少、50%の距離で約6% 減少し、それ以後急速減少でした。つまり全体の長さの半分くらいの電場は、1次の濃度変化で近似できそうですが、端に近づくにつれ、次数の高い濃度増加が必要なようです。先端部で電界が反転する事を考えれば、そこは特異点なのですから、必然でしょう。

誤りがあるかもしれません。不可解な点などあればご指摘ください。

投稿日時 - 2015-07-14 02:17:45

補足

回答ありがとうございます。
なにしろ「理解しやすい」のレベルですので、
回答の前半は私には専門的すぎます。

しかし、よく考えてみますと、棒のなかの電荷にはたらく力は、ローレンツ力と電荷の偏りから生じる電場つまり、静電気力だけではないことに気づきます。

電荷が棒の外へ出ていけないのも、やっぱり、金属棒の中の原子の原子核の引力によるものでしょうか。他には当然電流によって生じる磁界も何かありそうです。でも、ここらへんのしくみがよくわかりません。

結局、導体棒の中の電荷は単振動するのでしょうか。前半の内容はよく分かりませんが、
なんとなくですが、電荷はそのまま動きを止めてしまうのでしょうか。
であれば、棒電池というのは磁界のなかを、外力を加えて磁束に直角に動かすと、電流が流れるのは最初だけ、つまり、ローレンツ力が静電気力より大きい間だけなのでしょうか。

なにしろ、くわしいわけではありませんので、私なりにいろいろこうではないだろうかと考えるのですが、専門的な知識がないと説明できないものもあると思いますが、その輪郭だけでもつかめたらと思っています。

投稿日時 - 2015-07-23 23:35:21

 #1です。すいません間違えました。

>最後に登場するのが、3次元空間でのラプラス方程式です。・・・

の後全部です。

 ラプラス方程式を満たさなければならないのは、静電場の静電ポテンシャルφです。φってなにさ?って話になりますが、φは「電圧である」事が一般論から導けます。静電ポテンシャルφと電場Exとの関係は、

  ・dφ/dx=Ex

です。そしてφが一次元のラプラス方程式、

  D^2(φ)=0,D=d/dx.

を満たすので、φはxの一次関数となり、その傾きである電場Exは「一様」という話になります。


 ・・・失礼しました(ちょっと焦った・・・(^^;))。

投稿日時 - 2015-07-13 19:08:55

 たぶんこれはOKだと思うのですが、自由電子は(普通の条件下では)導体棒の端からは出て行けない。従ってローレンツ力と電場による力がつりあっていれば、端まで移動した自由電子は、そこにとどまり続ける。

 次に自由電子ですが、自由電子もやっぱり原子内に束縛されているんですよ。ただ自由電子は束縛される原子が、最初にいたところの原子でなくても良い、という特徴があります。

 隣接する原子間で電子軌道が触れ合っていれば(最外殻電子は大抵そうです)、今の原子から隣の原子へ電子軌道を乗り換えられる、というのが自由電子です。だから自由電子であろうと、導体棒の端からは出て行けません。

 よってどこかの原子には束縛されているので、ローレンツ力と電場の力がつりあった瞬間に、現在の原子の束縛が優勢になって、自由電子も動かなくなります。古典論では・・・(^^;)。


 次に導体(電線)内の電場一定の話ですが、直線導体を、xy平面のx軸に重ねて置いた姿を想像します。導体からy方向やz方向への電子(電流)の漏れ出しは、経験的にありません。それは導体の端から電子が出て行けないのと同じ理由です。

 ここで登場するのが、一般化されたクーロンの法則です。一般化されたクーロンの法則では、

  ・電流強度は、電場に比例する.   (1)

となります。じつは上記から、普通のクーロンの法則を導く事ができます。

 ともあれ(1)があると、x方向の任意の場所で切ってみた導体の切断面では、y,z方向へ出て行く電子はないので、少なくとも導体表面ではy,z方向の電場は0という結論になります。では断面内の表面以外では?。

 ここに古典物理における暗黙の前提が登場します。十分短い距離では、値はほとんど変化しないという、物理量の連続性です。

 一般に導線は非常に細いですよね?。なので表面で電場0なら、中心だってほとんど0さ、という発想です。それを理想化して断面内の全ての場所で、y,z方向の電場は0と「仮定」します。残るのはx方向の電場のみです。しかしそのExも、同じ理由から断面上で一定とみなされます(仮定する)。こうして導線は、x方向への一次元材料になります。

 最後に登場するのが、3次元空間でのラプラス方程式です。ラプラス方程式は静電場の基礎方程式で、静電場はどんな状況であろうとラプラス方程式を満たす必要があります。ところが今は一次元で十分なので、それを具体的に書くと、

  D^2(Ex)=0,D=d/dx.

です。要するにx方向の電場Exのxによる2階微分は0です。この条件を満たすExは、Ex=定数しかありません。導体棒の中の電場は一様、という訳です。


 ・・・もちろん理想化した結果ですが(^^;)。

投稿日時 - 2015-07-13 18:50:55

補足

回答ありがとうございます。返事が遅れました。
それでいろいろと考えていたのですが、

そして、ネット上にも棒電池のことがありますが、そのどれもが似たようなことしか書いてありません。

つまり、なぜローレンツ力と静電気力が釣り合うと電荷の動きが止まるのかの説明です。

同じ疑問の繰り返しではありますが、未だ引っかかっています。


それで、考えている内に別の素朴な疑問が湧きました。

(素朴な疑問)

参考書には「この静電気力とローレンツ力がつりあうと、自由電子の移動はとまる」とありますが、自由電子の移動が止まるということは電流が流れていないことを意味するのではないでしょうか。なのに、どうして棒電池なのか。もちろん、電荷が単振動を導体棒の中でするのならば、電気が流れないのは一瞬なのでしょうが。とすれば、参考書のV=Blvというのは瞬間的な数値と解するべきなのでしょうか。

投稿日時 - 2015-07-23 23:11:27

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