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解決済みの質問

中学入試算数です。

5枚のカード 0,1,2,3,4を使って3桁または4桁の整数をつくります。1番小さい整数は123となります。

小さい方から26番目の整数を求めなさい。(答 1024) 2014は小さい方から何番目の整数ですか。 (答 50番目) どなたか解説できる方はいらっしゃいますでしょうか?

投稿日時 - 2014-11-18 16:26:39

QNo.8829348

困ってます

質問者が選んだベストアンサー

問題文は

5枚のカード 0,1,2,3,4の中から、順に4枚のカードを引いて、3桁または4桁の整数をつくります。最初のカードが0だった場合は3桁の整数になります。1番小さい整数は123となります。

じゃないでしょうか?

とすると

0123 1番目
0124 2番目
0132 3番目
0134 4番目
0142 5番目
0143 6番目
0213 7番目
0214 8番目
0231 9番目
0234 10番目
0241 11番目
0243 12番目
0312 13番目
0314 14番目
0321 15番目
0324 16番目
0341 17番目
0342 18番目
0412 19番目
0413 20番目
0421 21番目
0423 22番目
0431 23番目
0432 24番目
1023 25番目
1024 26番目 ←最初の問いの答え
1032 27番目
1034 28番目
1042 29番目
1043 30番目
1203 31番目
1204 32番目
1230 33番目
1234 34番目
1240 35番目
1243 36番目
1302 37番目
1304 38番目
1320 39番目
1324 40番目
1340 41番目
1342 42番目
1402 43番目
1403 44番目
1420 45番目
1423 46番目
1430 47番目
1432 48番目
2013 49番目
2014 50番目 ←次の問いの答え

で、解答例と一致します。

考え方は

千の桁は、0~4の5種類

百の桁は、千の位で使った物を除く4種類

十の桁は、千、百の位で使った物を除く3種類

一の桁は、千、百、十の位で使った物を除く2種類

と考えます。

組み合わせは「5×4×3×2」個、つまり「120個」あります。

千の位が0の個数は「4×3×2」個あります。

つまり、3桁の最大の「432」は「4×3×2番目」つまり「24番目」です。

すると、4桁の最小の「1023」は「25番目」になります。

なので、4桁の数は「25番目から数える」ことにします。

言い換えれば、

千の位が0の個数は「4×3×2」個あって、1番目から始まる。

千の位が1の個数は「4×3×2」個あって、25番目から始まる。

千の位が2の個数は「4×3×2」個あって、49番目から始まる。

千の位が3の個数は「4×3×2」個あって、73番目から始まる。

千の位が4の個数は「4×3×2」個あって、97番目から始まる。

と言うことです。

>小さい方から26番目の整数を求めなさい。

「26番目」は「25番目の1023の次」なので「1024」が答え。

>2014は小さい方から何番目の整数ですか。

「千の位が2の個数は「4×3×2」個あって、49番目から始まる」ので「2014」は「49番目より後ろ」にあります。

千の位が2の最小は「2013」で、49番目です。

「2014」は「2013の次」です。

「49番目の次」は「50番目」ですので「50番目」が答え。

投稿日時 - 2014-11-18 17:43:36

お礼

ご丁寧な解説ありがとうございました。目からウロコが落ちる思いでございます。m(_ _)m

投稿日時 - 2014-11-18 18:09:30

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回答(5)

ANo.5

問題文が間違っていませんか?

一番小さい数字は 102 ではないでしょうか?

投稿日時 - 2014-11-18 20:45:25

ANo.3

0、1、2、3,4の5種類のカードから4枚を選んで並べた数字の組み合わせは、

千の位 : 0~4の5通り
百の位 : 5種類から千の位で選んだカードを除く4種類
十の位 : 同様に、3種類
一の位 : 同様に、2種類

なので、5種類のカードから4枚を選んで出来る数字は、5×4×3×2 通りあります。(これは後の問題を解くのには、必要のない計算なので、計算しなくてもよいです。全部で何通りかということがイメージできればよいです。)


この内、千の位が 0のカードの時が、3桁の数字になります。

3桁の数字は、千の位に既に0を選んだとして、上と同様に組み合わせを考えます。
百の位 : 1~4の4種類(0は既に使われている)
十の位 : 5種類から、0と百の位で選んだカードを除く3種類
一の位 : 同様に、2種類

なので、3桁の数字は 4x3x2 = 24通りです。

25番目は、1から始まる4桁の数字を小さい順に並べると、

1023   25番目
1024   26番目      となります。

0の次に小さいのは 1 なので、1から始まる4桁の数字の組み合わせを同様に計算すると、これも24通りになり、0から始まる4桁と、1から始まる4桁の組み合わせを足すと、48通りになります。

その次に小さいのは2なので、2から始まる4桁の数値を小さい順に並べると、

2013   49番目
2014   50番目   となります。

ご参考に。

投稿日時 - 2014-11-18 17:36:58

お礼

ありがとうございました。大変参考になりました。m(u_u)m

投稿日時 - 2014-11-18 18:07:18

ANo.2

3桁の整数の場合、4桁の整数の場合で、場合分けします。

・3桁の場合

百の位は

1xx
2xx
3xx
4xx

の4つです。

十の位は「百の位で使わなかった4つ」です。

一の位は「百、十の位のどちらでも使わなかった残り3つ」です。

すると、3桁の数は「4×4×3=48個」あると判ります。

百の位が1
102 1番目
103 2番目
104 3番目
120 4番目
123 5番目
124 6番目
130 7番目
132 8番目
134 9番目
140 10番目
142 11番目
143 12番目

百の位が2
201 13番目
203 14番目
204 15番目
210 16番目
213 17番目
214 18番目
230 19番目
231 20番目
234 21番目
240 22番目
241 23番目
243 24番目

百の位が3
301 25番目
302 26番目
304 27番目
以下略。

>1番小さい整数は123となります。

問題文が間違っています。一番小さい整数は、1番目の「102」です。

>小さい方から26番目の整数を求めなさい。(答 1024)

3桁の整数だけで48個あるのに、26番目の整数が1024になる訳がありません。

解答が間違っています。26番目は「302」です。

・4桁の場合

千の位は

1xx
2xx
3xx
4xx

の4つです。

百の位は「千の位で使わなかった4つ」です。

十の位は「千、百の位で使わなかった残り3つ」です。

一の位は「千、百、十の位のどこにも使わなかった残り2つ」です。

すると、4桁の数は「4×4×3×2=96個」あると判ります。

3桁の数は4桁の数より小さいので、4桁の数は「49番目以降」になります。

1023 49番目
1024 50番目
1032 51番目
1034 52番目
1042 53番目
1043 54番目
1203 55番目
1204 56番目
1230 57番目
1234 58番目
1240 59番目
1243 60番目
以下略。

>2014は小さい方から何番目の整数ですか。 (答 50番目)

3桁の整数だけで48個あるので、4桁の整数は、49番目以降になります。

50番目は「1024」であって「2014」ではありません。

問題文の中で、何か、とても重要な「条件」が抜けていると思います。

それか「問題と答えが1つズレている」か。

投稿日時 - 2014-11-18 17:06:46

ANo.1

>1番小さい整数は123となります。

これがよくわからないです。
102ではないのでしょうか。

投稿日時 - 2014-11-18 17:01:47

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