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強制運動

(d^2x/dt^2) + ɤ(dx/dt) + Ω₀^2x = (F/m)cos(Ωt)

この運動において、外力Fcos(Ωt)が振動の1周期の間になす仕事は

W = AFπsin∮

このWの式から、強制振動の振動数が固有振動数から外れると、外力はほとんど振動のエネルギーとして吸収されない らしい です。

なぜ、このWの式から、強制振動の振動数が固有振動数から外れると、外力はほとんど振動のエネルギーとして吸収されないことがわかるのですか?

そもそも、固有振動数ってなんですか?

ΩとΩ₀の違いは何ですか?

詳しい解説お願いします。

投稿日時 - 2013-12-21 22:36:24

QNo.8395818

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質問者が選んだベストアンサー

こんばんは。

この話は、面倒くさい数式を書かないで説明をするのが困難なので、
http://photon.c.u-tokyo.ac.jp/~kuga/ss/Dumped%26ForcedOscillations/DumpedForcedOscV3.pdf
の(3)強制振動を読んでください。
わたしの下手な説明を読むより、よっぽど、勉強になります。
(ここでγが2γになっていますが、これは計算をしやすくため。深い意味はないです。)


☆そもそも、固有振動数ってなんですか?
◇方程式
 (d^2x/dt^2) + ɤ(dx/dt) + Ω₀^2x = 0
で記された、振動をする系の固有振動数です(ポリポリ)。

そして、
Ωoはバネの角速度(固有角振動数)を意味します。
しかし、このこれは
 (d^2x/dt^2) + ɤ(dx/dt) + Ω₀^2x = 0
の固有角振動数ではありません。
この方程式であらわされる系の固有角振動数は
 固有角振動数 = √(Ωo^2-(γ/2)^2)
になります。
二次方程式
 z^2 + γz + Ωo^2 = 0
を解くと、これは求まります。


☆ΩとΩ₀の違いは何ですか?
◇Ωは、外力の角速度、角振動数、
Ωoはバネの運動で表現されるもの(《調和振動子》とかいいます)の角速度、角振動数。
バネ定数がkならば、
 Ωo = √(k/m)
であらわされます。
なので、
ΩとΩoはまったく別なもの、関係がありません。

そして、これが一致したりしますと、《共振》という現象がおきます。

中学校とかで、音叉を二つ用意して、片一方を叩き、それをもう一つの音叉に近づけたら、
音を出していなかった音叉が鳴り出す、
という実験とかしたでしょう。
これが《共振》と呼ばれる現象です。
固有振動数が同じだと、こういう現象が起きるんですよ。

投稿日時 - 2013-12-22 17:03:40

お礼

詳しい解説ありがとうございます。

∮ = π/2 のとき w は最大
∮ = π/2 のとき Ω = Ω₀
ということですか?

Ωは外力に関係して、Ω₀ばねに関係するということですか?

詳しい解説お願いします。

投稿日時 - 2013-12-28 18:48:10

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回答(2)

~~~~~~~
∮ = π/2 のとき w は最大
∮ = π/2 のとき Ω = Ω₀
ということですか?
~~~~~~~
たぶん。
自分でWについて計算をしていないので、
本当に
 W = AFπsin∮
になるのかどうかについてはわかりませんけれども。


☆Ωは外力に関係して、Ω₀ばねに関係するということですか?
◇はい、この両者はまったく別物です。
でも、たまたま一致することはあります。
偶然の一致はある。

ほいで、
一般に、
振幅Aの最大値を与えるΩはΩoとは異なります。
http://photon.c.u-tokyo.ac.jp/~kuga/ss/Dumped%26ForcedOscillations/DumpedForcedOscV3.pdf
の(10)が振幅Aを与える式なのですが、
この振幅Aの最大値を与えるのは、
 Ω^2 = Ωo^2 - 2γ^2
の時。
Ω=Ωoでないことに注意!!

なのですが、
γがΩoに対して十分に小さいとき、γ/Ωo<<1のとき、
 Ω^2 = Ωo^2・{1-2(γ/Ωo)^2) ≒ Ωo^2
となり、
 Ω = Ωo
の時、振幅が最大値となります。

なお、
 (d^2x/dt^2) + ɤ(dx/dt) + Ω₀^2x = (F/m)cos(Ωt)
という式で表現される系の角振動数は、あくまで、外力の角振動数Ωです。
Ωoやγは、遅れ角(相対位相)φや振幅Aに関係する一種のパラメータとなります。

投稿日時 - 2013-12-28 22:44:54

お礼

詳しい解説ありがとうございます。

投稿日時 - 2013-12-28 23:22:27

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