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解決済みの質問

微分方程式について

この連立微分方程式の解き方がわかりません。どのようにして解けばいいのでしょうか。
 x''=Ax/r^2+y'B
 y''=Ay/r^2-x'B (A,Bは定数 x'',y''はそれぞれx,yの二階微分、x,yはそれぞれx,yの一階微分 r=(x^2+y^2)^1/2)
どなたかよろしくお願いします。

投稿日時 - 2012-07-21 01:29:00

QNo.7601827

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質問者が選んだベストアンサー

角運動量は次のようにすればよいのですね(汗)。

x''=Ax/r^2+y'B  (1)
y''=Ay/r^2-x'B  (2)

{(1)×y}-{(2)×x}を作る。

yx''-xy''=A(xy-xy)/r^2+y'yB+x'xB
=B(xx'+yy')  (4)

ここで,
d/dt{x'y-y'x}=x''y+x'y'-y''x-y'x'=x''y-y''x
d/dt{(1/2)r^2}=d/dt{x^2+y^2}/2=x'x+y'y
を利用すると,(4)は
d/dt{x'y-y'x}=(B/2)[d(r^2)/dt]
と書ける。両辺を時間tで積分して
x'y-y'x=(B/2)*r^2+Const.

これで,もう一階積分できて,
角運動量の式が作れました。

投稿日時 - 2012-07-21 16:19:00

お礼

おぉ・・・ ありがとございました。やってみます!

投稿日時 - 2012-07-21 16:22:30

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回答(5)

ANo.4

x''=Ax/r^2+y'B  (1)
y''=Ay/r^2-x'B  (2)

{(1)×x'}+{(2)×y'}を作る。

x'x''+y'y''=A(xx'+yy')/r^2+y'x'B-x'y'B
=A(xx'+yy')/r^2  (3)

ここで,
d/dt{(x')^2+(y')^2}=2x'x''+2y'y''
d/dt{r^2}=d/dt{x^2+y^2}=2x'x+2y'y
を利用すると,(3)は
d/dt{(x')^2+(y')^2}=A[d(r^2)/dt]/r^2
と書ける。両辺を時間tで積分して
(x')^2+(y')^2=A*log(r^2)+Const.

これで,とりあえず一階積分できて,
運動エネルギーの式が作れました。

この先,角運動量を出すのかなと思いますが,
ごめんなさい,すぐは分かりません。

投稿日時 - 2012-07-21 16:08:39

お礼

回答ありがとうございました。

投稿日時 - 2012-07-25 22:33:26

ANo.3

こんにちは。

とりあえず分かるのは、1式目を2x’倍、2式目を2y’倍して、二つの式の和をとると、Bの項が消去されて、積分すると、(積分定数を省略)
x’^2+y’^2=A・ln(r^2)
が得られますね。
速度の2乗なので、運動エネルギを示すパラメータでしょうか。

投稿日時 - 2012-07-21 13:10:27

お礼

おぉ・・・
なるほど、ありがとうございます。指針が立ちました。

投稿日時 - 2012-07-21 15:55:17

ANo.2

そもそも意味がわからない

> x,yはそれぞれx,yの一階微分
> x'',y''はそれぞれx,yの二階微分

xをxで微分したら1
xをxで二階微分したら0

投稿日時 - 2012-07-21 01:37:06

お礼

すいません。書き忘れていました。x、yは時間tの関数です。微分は時間微分です。よろしくおねがいします。

投稿日時 - 2012-07-21 11:26:28

ANo.1

2式をもう一回微分して元の式を代入。

投稿日時 - 2012-07-21 01:34:20

お礼

ちょっとやってみます。ありがとうございました。

投稿日時 - 2012-07-21 15:56:23

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