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証明

e≦p<q のとき、 log(logq)-log(logp)<(q-p)/e が成り立つことを証明せよ

この問題がわからないです。どうやって求めるかもわかりません
よろしくお願いします。

投稿日時 - 2009-03-18 23:57:29

QNo.4808574

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回答(2)

ANo.2

考えられたと思うので。
解)
f(x)=log(logx)(ただし、x>1)とおくと
f'(x)=1/xlogxだから、平均値の定理より
{log(logq)-log(logp)}/(q-p)=1/clogc かつ e≦p<q
をみたすcが存在する。
ここで、c>eより
clogc>eloge=e
変形して
1/clogc<1/e
よって
{log(logq)-log(logp)}/(q-p)<1/e
q-p>0であるから
log(logq)-log(logp)<(q-p)/e

投稿日時 - 2009-03-19 14:37:02

ANo.1

2000年か2001年度の名古屋大学の入試問題ですね。
すべて教えてしまってはあなたのためにはならないので、ヒントです。
f(x)=log(logx)と置いて、「平均値の定理」を使うとあっという間に証明できます。

投稿日時 - 2009-03-19 00:03:26

お礼

ありがとうございます。一回、平均値の定理を思い浮かべたのですがその時はf(x)=logx とおいてできなかったのでできませんでした。ヒントありがとうございます。

投稿日時 - 2009-03-19 00:26:44

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