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解決済みの質問

フェルミエネルギーについて

p形とn形の半導体(金属と半導体、金属と金属同士でもよい)を接触させるとフェルミエネルギーが等しくなるのは何故ですか?
 また、何故pn接合の両端にバイアスを加えるとp領域とn領域のフェルミエネルギーが分裂するのですか?
 質問内容がよく分かりにくいかも知れませんが回答お願いします!
 

投稿日時 - 2002-10-31 01:32:45

QNo.393616

すぐに回答ほしいです

質問者が選んだベストアンサー

基本的に#3, #4回答に同じなのですが、もう少し具体的な自己流説明の試みです。

(1)p形とn形の半導体を接触させるとフェルミエネルギーが等しくなるのは何故か?
>このような状況は、p形とn形の半導体が熱平衡状態にある場合に限られます。熱平衡状態にあるp形とn形の半導体は、各々の可動粒子(自由電子 or 正孔)が互いに他方に移動し得て、移動の前後で同じ状況が保たれていると見なすことが出来ます。p形とn形の半導体の自由電子密度(Np, Nn)は異なっているので(Np < Nn)、n形からp形に自由電子が移動する頻度(Snp)は、p形からn形に移動する頻度(Spn)に比べて小さくなければなりません。そこでは、次の(1式)が成立しているはずです。
Np・Spn= Nn・Snp ...(1)
このように電子とか正孔の移動頻度が非対称となるのは、両領域の境界のn領域側が、p領域側より低い電位ポテンシャルであれば可能です。この電位ポテンシャルは、p形とn形の境界部分から正孔と自由電子が移動した跡に取り残される負イオンと正イオンによって発生します。
p形とn形の物質が接触したすると、p形から正孔が、n形からは自由電子が、各々他方に移動し始め、電位ポテンシャルが時間と共に増加して、(1式)の関係が成立するまで続きます。また、平衡状態では、一般的にポテンシャル(q・Vb)が存在する領域の両端では、電子(あるいは正孔)の存在確率はexp(q・Vb/kT)倍の違いが生じます。これは、両端の間を移動する頻度(S)が移動方向でexp(q・Vb/kT)倍異なっているとも解釈することが出来ます。すなわち、p形とn形の物質が平衡状態になった時には、(2式)を満たすような電位ポテンシャル(Vb)が、両物質の境界に形成されていると考えられます。そして、このVbの値は、n領域とp領域のフェルミ・エネルギーの差(En-Ep)に等しいことが、(3式)に示すように導かれます。(正孔についても、全く同様です)
exp(q・Vb/kT)=Nn/Np(Vb: n領域からみたp領域のポテンシャル)...(2)
Vb= (kT/q)・ln(Nn/Np)= (kT/q)・[ln(Nn/Ni) - ln(Ni/Np)]= En-Ep
(En, Ep: n領域, p領域のFermi Energy, Ni: 真性電荷密度)...(3)
このように、p形とn形の半導体が接する時、それらの境界に電位ポテンシャルが形成されます。この電位ポテンシャルは、それらのフェルミ・エネルギーの差(En-Ep)に大きさが等しく逆方向です。両領域とも、フェルミ・エネルギーと電位ポテンシャルを足し合わせた値は同じになります。
おなじみのバンド図は、縦軸が電子のエネルギーとなっている図なので、両者のフェルミ・エネルギーを表す線が同じ高さになります。
(半導体以外の場合でも、2つの物質が接触し、熱平衡にあるならば、両者のフェルミ・エネルギーは一般的に一致して表されることが同じ原理で説明することかできます)

(2)pn接合の両端に電圧(V)を加えると、両者のフェルミ・エネルギーにq・Vだけの差が生じる理由。
>外部電圧(V)が導電性のある物体(A, B)の間に加わると、それはAとBの接触部の電位ポテンシャルが(V)だけ変化し、境界の両側の自由電子(と正孔)のエネルギー差にも新たにq・Vの変化が生じます。バンド図は縦軸が電子のエネルギーを示しているので、両者のフェルミ・エネルギーを表す線もq・Vだけの差が生じます。

多分、このような説明ではフェルミ・エネルギーの実体がはっきり想像できないというのが質問者の疑問だと思います。私は、次のように考えて納得してます。
フェルミ・エネルギーは、化学エネルギーとも言われることから化学結合に関与している電子の力学的エネルギー(=運動エネルギー+ポテンシャル・エネルギー)のように考えます。例えば、金属の場合には、フェルミ・エネルギーは原子の束縛から離れた(自由)電子の運動エネルギーを示す。半導体の場合には、自由電子のエネルギーと考えるだけではうまく行きませんが、自由電子だけでなく共有結合を構成している電子も合わせた(一種の)平均値エネルギーと考えれば良いのではないかと思います。
p領域にあった電子がn領域に移る際に、pn接合部で電子のエネルギーには電位ポテンシャル・エネルギーが加わります。熱平衡状態ではn領域にもとから存在する電子と同じエネルギーを有する状態になっています。p領域とn領域の間に電子も正孔も実質的に移動させようとする力が働かないのだから、両領域間の電位差は零です。
それに対して、p領域にに外部電圧(V)が加わった場合には、p領域の自由電子の(力学的+電気的)エネルギーはn領域よりも(-q・V)だけ(正孔はq・Vだけ)高くなります。この自由電子(と正孔)のエネルギー差がそのままフェルミ・エネルギーの違いとなる訳です。

投稿日時 - 2002-12-09 05:22:55

補足

ところが、化学ポテンシャルを化学結合に関与している電子の力学的エネルギー(=運動エネルギー+ポテンシャル・エネルギー)と考えてよいというその理由はどこから来るのですか?それを理解することができればこの問題は解決に到りそうです。難しい質問かもしれませんが補足回答よろしくお願いします。d9winさん自分の伝わりにくい疑問に気づいて頂きどうもありがとうございました!

投稿日時 - 2002-12-12 16:42:47

お礼

細かい説明有難うございます。#4のspinflipさんにも同様な説明を頂いてますが、フェルミエネルギーが化学結合に関与している電子の力学的エネルギー(=運動エネルギー+ポテンシャル・エネルギー)であると考えるならば、素直にその事実を受け入れることができます。ところが…

投稿日時 - 2002-12-12 16:39:44

ANo.15

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回答(17)

ANo.17

おっしゃるような感じでいいのではないでしょうか。しかし、私には良いと断定する自信はありません。"化学ポテンシャル"がどうこうという議論は、私には実感が伴わないのです。私には、ただ、始めの質問に対する考え方として自分なりに納得する考えをアドバイスできるだけです。
さて、改めて、始めの質問に立ち返って考えますと、"化学ポテンシャル"とか"フェルミエネルギー"とかいう用語を使わない方が分かりやすいように思えて来ました。例えば、
(イ)均一な平衡状態の系では、特定粒子はどの場所でも平均的には同じエネルギー状態にある(外力が働かないことは、均一な平衡状態であるための必要条件)。
(ロ)特定の粒子(I)の平均的な全エネルギーが互いに異なる二つの系(a, b)が接触した場合、エネルギーの高い方(例えばa)から(b)に粒子(I)は移動し始める。それに対して、(通常の)安定な系では、粒子(I)の動きを妨げる機構が存在し、最終的に粒子(I)の移動は止まり再び安定した状態となる(実際は、粒子(I)の移動が止まるのでなく、移動がバランスする)。この時、粒子(I)の動きを妨げる機構は、粒子(I)が(a)から(b)に移動する際に、始めの(a)と(b)のエネルギー差を差し引きするだけのエネルギーを粒子(I)に与える。したがって、粒子(I)のエネルギーは(a)と(b)で同じとなる。.....もともとの質問の始めの部分の答え。
(ハ)その上で、(a)と(b)の間に外力が定常的に加わると、粒子(I)のバランスは崩れ、粒子(I)はエネルギーの高い状態(例えばa)から定常的に流失し続ける。(a)と(b)の粒子(I)のエネルギー差は、粒子(I)が(a)から(b)に移動する間に加わえられる外力の積分値(例えば、起電力)に他ならない。.....もともとの質問の後の部分の答え

質問の"フェルミエネルギー"の代わりに"可動粒子(自由電子あるい正孔)の平均エネルギー"と置き換えれば良いわけです。そして、"可動粒子の平均エネルギー"は、学術的には"化学ポテンシャル"と呼ぶのが適切なのでしょう。
しかしながら、"可動粒子の平均エネルギー"を"フェルミエネルギー"と呼ぶのは間違いであると思えてきました。なぜなら、"フェルミエネルギー"は、自由電子の運動エネルギー平均値の意味があります。これをm・v^2/2で表したときのvは、自由電子の運動速度です。この運動速度は、物質固有のもので、物体に外部から加わる静電的なポテンシャルとは無関係です。それに対して、(可動粒子に限らず)"エネルギー"は本来相対的なものです。文献による"化学ポテンシャル"の説明も、系の間の相対的なエネルギー差の話しか出てこないように思えます。

結局、半導体の文献で見かけるp-n接合等のバンド図は、電子のエネルギーを縦軸にしていることが本質的なのだと思います。それ以外のことを考える必要はなく、そこで通常"フェルミエネルギー"として表されている線は、それぞれの領域の"自由電子の平均エネルギー"を示していると考えるべきなのです。"フェルミエネルギー(あるいはフェルミレベル)"の名称を使うことで、いらぬ混乱(むしろ間違!?)を招いているのだと思います。
 (私の最初の#15回答の後半部の"フェルミエネルギー"の使い方は、正しくなかったと考えます)

投稿日時 - 2003-01-04 08:34:22

お礼

補足回答有難うございました。自分の質問にこれだけ適切に答えて頂いて非常に感謝しています。やっと区切りがついたのでこれで締め切らせて頂きます。
 ここでまとめて今まで回答頂いた皆様に改めてお礼申し上げます。ありがとうございました!

投稿日時 - 2003-01-04 23:59:25

ANo.16

基礎知識がないもので、以下はにわか勉強の結果です。それにしても、化学ポテンシャルを簡明に説明している文献はなかなかありませんね。まだしも、手元の本の中ではランダウ, リフシッツの統計物理学 第二版(上) (岩波書店)の説明(p.60, p.88~p.91)が判りやすかったので、これを参考に考えました。化学ポテンシャルは移動しうる電子の力学的エネルギー(=運動エネルギー+ポテンシャル・エネルギー)と考えてよいと、自分としては再確認しました。おおっぴらにするほどの自信はありませんが...。

化学ポテンシャル(μ)は、粒子数(N)を独立変数と見なさねばならない状況で、熱力学的(な)ポテンシャル(エネルギー, エンタルピー, ヘルムホルツの自由エネルギー, ギブスの自由エネルギー等)の微分の表式の中に粒子数の変化分(dN)の比例係数として導入されるパラメータである。例えばエネルギー微分(dE)については(1式)となる。
 dE= T・dS- P・dV+ μ・dN (T: 温度, S: エントロピー, P: 圧力, V: 体積)(1)
(ここまでは、上記文献のほぼ丸写し)

それぞれが平衡状態にある二つの系(a, b)が隣接して存在し、それらの系の間に外力が働いているのだが全体として平衡状態にあって、比較的少数の粒子が互いの系を行き来している状況を考える。系(a)と系(b)を含んだ全体の平衡状態が出現するためには、二つの系(a, b)の温度(マクロなエネルギー)が一定であるということに加えて、行き来する特定の粒子のエネルギーが系(a)と系(b)で同じでなければならない。
  粒子のエネルギーが、系を移動する間に二つの系(A, B)で異なるエネルギー分だけ補完される場合にのみ、この状況が可能となる。
(1式)で定義される化学ポテンシャル(μ)は、この特定粒子のエネルギー値に等しいと見なすことが出来る。部分系(a)と(b)はそれぞれ平衡状態で、その中では外力は働いていない。そこでの粒子のエネルギー(μa, μb)は力学的エネルギー(運動エネルギー + 保存力ポテンシャル)であることが必要十分条件と考える。

そして、粒子がフェルミ統計に従うならば、移動する粒子のエネルギーはフェルミ・エネルギー値(EF)を中心に分布するので、平均すればEFとなっている。これが、化学ポテンシャル(μ)がフェルミ・エネルギー(EF)に等しいとされる由縁であろう。
  全体として平衡状態にある個々の部分系では、(特定の粒子についての)化学ポテンシャルが等しくなることは、基本的な(熱力学あるいは統計力学からの)要請(制限)のようです。

ちなみに、粒子が理想気体の原子であれば、異なる系(a, b)での粒子に対する化学ポテンシャル(μa, μb)には(2式)の関係が存在する。そして、この式の圧力(p)を粒子密度(N)で置き換えた(3式)は、半導体の自由電子(あるいは 正孔)で成り立っている関係式と同じになります。
 μa= μb+kT・ln(Pa/Pb) (Pa, Pb: 系aと系bでの粒子の圧力)(2)
 μa= μb+kT・ln(Na/Nb) (Na, Nb: 系aと系bでの粒子の密度)(3)

参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=151365

投稿日時 - 2002-12-19 06:19:59

補足

化学ポテンシャルは粒子1個のもつ平均的な全エネルギーであり、外力が働かなければ平衡状態にあり、どの場所の粒子も平均的には同じエネルギー状態にある。だから、化学ポテンシャルは当然等しい。
 ところが、外力(起電力V)が加わると、その加えられたエネルギー分だけその部分の粒子の平均的な全エネルギーが上がる。つまり化学ポテンシャルがqV上がる(バンド図)。

 結論:μ・dN というのは粒子の変化分に起因するものだが、粒子の数の変化に起因するエネルギーとしては運動エネルギーやその粒子自体のポテンシャルエネルギーを考えざるを得ない。
 したがって、
化学ポテンシャル=粒子一個のもつ平均的な全エネルギー

投稿日時 - 2002-12-25 15:45:18

お礼

補足回答ありがとうございました。丁寧に説明して下さり感謝しています。少し分かってきた気がします。最後に補足にd9winさんの説明によって自分が理解した事を自身がないながらにまとめますのでそれが正しいか否か回答お願いします。

投稿日時 - 2002-12-25 15:45:08

ANo.14

参考まで
yahoo検索keyword フェルミレベル 仕事関数 で検索。

科学ポテンシャルやフェルミレベルなど
http://133.6.159.99/~goto/contents/01_mos/MOS.html

投稿日時 - 2002-11-20 16:06:00

お礼

ありがとうございます。何故まだ締め切らないのかと言うとまだ、順方向バイアスを加えた時、n領域のFermi準位がちょうどqVだけp領域より高くなるという事を完全には理解できてないんですよね…。

投稿日時 - 2002-11-24 12:30:54

ANo.13

[念のため、確認しますが閾値Vgは内臓電位(拡散電位、接触電位差、built in potential)を指していますね? ]

そうです。mmkyさんはICの設計をやっていましたので、閾値といってします癖があります。(拡散電位、接触電位差、built in potential)が正しい
表現ですね。

「そして、
>そこで、N型の分布は、どうかといえば、キャリヤがグラウンドからエミッターに流入すると、
トランジスタじゃないのにエミッタ-ってn領域の事かな? 」

そうですね。指摘どおりですね。ダイオードの場合は、カソードが普通ですよね。IC上では、トランジスターのベース・コレクターショートをダイオードとして使いますので、キャリヤの注入といえば思考過程でエミッターと考えてしますのです。(普通は言い直すのですけどね。)

言葉の混乱は、ごめん。
でも参考になったのならいいかな。

投稿日時 - 2002-11-06 09:44:13

お礼

ありがとうございました。mmkyさんはICの設計をやっていたんですね!凄いなぁ。だから、実際のものを目にしてそれと日常に向き合っていたから初学者の僕と半導体の見え方が全然違うのですね。だからエミッタ-なんだ。

投稿日時 - 2002-11-06 19:24:06

ANo.12

確かにそうだね。思考過程で電位とエネルギー表示を気にしてなかった。
ごめん。

単体に電圧(E)をかければ電流が流れます。閾値の考えは必要なしと。
このときの電流の大きさは、ボルツマン分布に比例している。
∝Exp(qE/KT)
これはフェルミエネルギー分布で示すと
f(qE)={1/(1+exp(qE/KT))}, (Vg=0 ) であらわされる。

そこで、P型とN型を接触させると、突如として閾値Vg が現れる。
このときに、それぞれの領域でのフェルミ分布は、
f(Vp)={1/(1+exp(Vp/KT))}
f(Vn)={1/(1+exp(Vn/KT))}
接合面では、この二つの材料が合成した(新しい材料と等価なものができたと考えられる。)
f(qVg)={1/(1+exp(-qVg/KT))} が形成されている。
P型側に電圧(E)を印加してみよう。まずは、電圧を印加しても電流が流れないのでP型もN型ものフェルミ分布は変わらない。ところが電圧(E)が(Vg)を越えると電流が流れはじめる。
(N型:エミッター:からキャリアがP型領域に注入されはじめる)
このとき当然P型のフェルミ分布は変化すると考えられる。
そこで、N型の分布は、どうかといえば、キャリヤがグラウンドから
エミッターに流入すると、f(qEn)={1/(1+expq(E-Vg/KT))}, E-Vg>0
これは導体状態と同じになっていると考えられる。
P型領域にも同じ電流が流れるわけだから、
分布はf(qEp)={1/(1+expq(E-Vg/KT))}
当然 両方の領域で電流が同じだから分布も同じ f(qEn)=f(qEp) 
つまり、順方向電圧を印加して電流が流れ始めた時点で双方のフェルミ
エネルギー分布は同じになる。
ということが考えられるなあ。
以上の論法が正しければ、(議論の余地はたくさんあると思うけど)
順方向電圧で電流が流れ始めると、指摘のような分離はないですね。

修正しておきます。変なところはなおしてね。
以上

投稿日時 - 2002-11-05 22:37:25

お礼

訂正ありがとうございます。自分の持っている本とmmkyさんの使っている用語が違うため読むのが結構大変ですが、こちらで読み替えて理解できました。mmkyさんの言っている事は正しいと思います。しかし、表示が少しおかしい部分があるため理解に困る部分もあります。
念のため、確認しますが閾値Vgは内臓電位(拡散電位、接触電位差、built in potential)を指していますね?
そして、
>そこで、N型の分布は、どうかといえば、キャリヤがグラウンドからエミッターに流入すると、
トランジスタじゃないのにエミッタ-ってn領域の事かな?

mmkyさんはFermi-Diracの分布関数f(E)が分離するという質問だと思われてこの説明をして下さったんですね。
僕はFermi-Diracの分布関数ではなく、フェルミ準位E_Fが分離するという質問だったんですけどね。
 でも、なんか考えてたら定性的には分かってきたような気がします。順方向バイアスを加えると、例えばn領域の多数キャリア(電子)を考えると、電子密度が増えるので、化学ポテンシャル(フェルミ準位)がp型の化学ポテンシャルよりもqV(Vはバイアス電圧)だけ高くなる。もし高くならないとすると、バイアスを加える以前とn領域の電子密度の分布が変化してしまうから。って感じかな?

投稿日時 - 2002-11-05 23:28:24

ANo.11

[ちよっと頭を白紙にして考えて見ます。]
考え方まで「mmkyさんの思考過程そのまんま書きました。」

P型でもN型でも半導体素材単体で考えると抵抗は少し大きいですけど導体です。
単体に電圧(E)をかければ電流が流れます。閾値の考えは必要なしと。
このときの電流の大きさは、ボルツマン分布に比例している。
∝Exp(E/KT)
これはフェルミエネルギー分布で示すと
f(E)={1/(1+exp(E/KT))}, (Vg=0 ) であらわされる。

そこで、P型とN型を接触させると、突如として閾値Vg が現れる。
このときに、それぞれの領域でのフェルミ分布は、
f(Vp)={1/(1+exp(Vp/KT))}
f(Vn)={1/(1+exp(Vn/KT))}
接合面では、この二つの材料が合成した(新しい材料と等価なものができたと考えられる。)
f(Vg)={1/(1+exp(-Vg/KT))} が形成されている。
P型側に電圧(E)を印加してみよう。まずは、電圧を印加しても電流が流れないのでP型もN型ものフェルミ分布は変わらない。ところが電圧(E)が(Vg)を越えると電流が流れはじめる。
(N型:エミッター:からキャリアがP型領域に注入されはじめる)
このとき当然P型のフェルミ分布は変化すると考えられる。
そこで、N型の分布は、どうかといえば、キャリヤがグラウンドから
エミッターに流入すると、f(Vn1)={1/(1+exp(E-Vg/KT))}, E-Vg>0
これは導体状態と同じになっていると考えられる。
P型領域にも同じ電流が流れるわけだから、
分布はf(Vp1)={1/(1+exp(E-Vg/KT))}
当然 両方の領域で電流が同じだから分布も同じ f(Vn1)=f(Vp1) 
の状態になっているはず。
つまり、順方向電圧を印加して電流が流れ始めた時点で双方のフェルミ
エネルギー分布は同じになる。
ということが考えられるなあ。
以上の論法が正しければ、(議論の余地はたくさんあると思うけど)
順方向電圧で電流が流れ始めると、指摘のような分離はないですね。

この辺の説明あまりないと思いますので、
後の皆さんのために考えてみてくださいね。
mmkyさんの考えまで、参考に

投稿日時 - 2002-11-05 14:41:52

お礼

ありがとうございます。すいませんが、式で使っている文字が何かをしっかりと指定して頂けませんか?ちょっと意味不明っぽいのでエネルギーとポテンシャル(電位、電位差)の区別をしっかりして書いて下さい。なんとなくは分かるのですが、例えば、f(Vp1)={1/(1+exp(E-Vg/KT))}
のような書き方は非常に分かりにくいです。Vp1の関数なのにVp1という変数が式の中に出てこない等。
お願いします。

投稿日時 - 2002-11-05 19:18:42

ANo.10

「という事ですよね??? 」

その通りです。認識の共有はOKですね。

「改めて自分の質問を書くと擬フェルミエネルギーが左と右で分離するっていう意味です。」

ちよっと頭を白紙にして考えて見ます。

投稿日時 - 2002-11-05 13:14:33

お礼

ありがとうございます。お世話になります。

投稿日時 - 2002-11-05 18:33:50

ANo.9

[そういう事を言っているのではなく、順方向に電圧を加えると上下に分かれるという事です。]ということですね。
#8でW(フェルミエネルギー:確率(1/2))が接合面で上下にわかれる(分裂している。)のは、定義上の便法ですということをいっています。
だから、
「E_Fn-E_Fp=qVの差をもって上下に分離すると思う。」

という考えでいいのでは。

投稿日時 - 2002-11-04 22:10:12

お礼

ありがとうございました。mmkyさんの言っている意味がだんだん分かってきました。

フェルミWより下側(N): Jn∝expq{-(W-Vn)/KT}
フェルミWより上側(P): Jp∝expq{-(Vp-W)/KT}
●ここで使っているWは熱平衡状態におけるフェルミエネルギーで擬フェルミエネルギーではないから、温度が一定の条件下では不変である。自分は擬フェルミエネルギーを使っていたから食い違いが起こった。
●PNジャンクションの図で左側をP、右側をN領域とすると-qVnは右側のN領域での価電子帯の準位で、-qVpは左側のP領域での伝導帯の準位。だから、qVgは左側のP領域での伝導帯の準位と右側のN領域での価電子帯の準位との差。自分は同じ領域におけるギャップポテンシャルと思っていたのでそこで食い違いが起こった。

>ということで {V-Vg}になるね。
おのおのの材料でのフェルミ関数Wは変化していませんね。
でも接合面で確かに{V-Vg}の電位差が存在するでしょう。
●mmkyさんの言っているV-Vgというのは左と右の領域の差のVgを使っているのに対して、自分は同じ領域のVgだと思っていたから食い違いが起こった。

という事ですよね???
改めて自分の質問を書くと擬フェルミエネルギーが左と右で分離するっていう意味です。

投稿日時 - 2002-11-04 23:10:57

ANo.8

[pとn領域で等しくWというのはやはりおかしいと思います。]
という指摘ですね。
そこで、質問者の指摘にも一理あるように思いましたので、
一度白紙に戻して考えてみました。
物理学全書(McGRAW-HILL Enc.Physics)のferm-Dirac分布
の読み直しです。
フェルミエネルギーの定義は、
熱平衡状態において、エネルギーεを占有する確率は、
フェルミ分布で与えられる。、
f(ε)=1/1+{exp(ε-w)/KT}
ここで、wをフェルミエネルギーと呼ぶ。wは確率が(1/2)のエネルギー。
(#2さんの指摘にあります。)
ということで、フェルミエネルギーの定義は、確かに材料ごとに与えられる
固有のエネルギー(準位)ですね。
そこで、質問者の指摘(1) P型とN型はWが同じではないのでは、ということですが
定義が熱平衡状態でと言う事なので、Wp=Wn=W=ケミカルポテンシャル(μ)に
あわせていると考えられますね。また、グラフに良く書かれている
フェルミ線(w)は熱平衡状態の基準値ということですね。
金属や半導体の接触を考える上でその方が便利だったと思われますね。
従って、質問者の「フェルミエネルギーが変わらないのはおかしい。」という
指摘も正しいのですね。
フェルミエネルギーwは変えずに、f(ε)やεで表すことにしているのですね。
これにも理由があると思うのです。
この理由に関しては、#7さんの指摘があります。
確かに、f(ε)もフェルミエネルギーといってしまうから混乱しますね。
質問者の疑問の答えになっているかどうか?
参考に

投稿日時 - 2002-11-04 05:01:39

お礼

ありがとうございます。
>質問者の指摘(1) P型とN型はWが同じではないのでは、ということですが
そういう事を言っているのではなく、順方向に電圧を加えると上下に分かれるという事です。

投稿日時 - 2002-11-04 19:48:24

ANo.7

#4です。#4の補足、
>>順方向バイアスVを加えると化学ポテンシャルが
>>上下にqVの差で分かれるのは
についてですが、
一方は、電子(-q)で、一方はホール(+q)ですから、
同じ電圧を加えても一方はエネルギーが下がり、
一方は上がるのです。

P.S.
未定乗数法の補足は、d/dxと∂/∂xについてでしょうか。
もしそうなら、、「もちろん、適宜(てきぎ)読み替えて下さい」。
十分、ご判断できる「ポテンシャル」をお持ちであるとお察しいたします。

投稿日時 - 2002-11-04 01:29:24

補足

自分なりの説明をします。順方向バイアスを加えると、例えばn領域の多数キャリア(電子)を考えると、電子密度が増えるので、化学ポテンシャル(フェルミ準位)がp型の化学ポテンシャルよりもqV(Vはバイアス電圧)だけ高くなる。もし高くならないとすると、バイアスを加える以前とn領域の電子密度の分布が変化してしまうから。って感じでいいでしょうか???
 また、spinflipさんはどのように理解していらっしゃるのでしょうか?

投稿日時 - 2002-11-05 23:28:56

お礼

ありがとうございました。
>未定乗数法の補足は、d/dxと∂/∂xについてでしょうか。
そうです。読み替えればいいのですね。これからspinflipさんの回答でそういう表示が出たら自分で読み替えます。

何故1+1=2になるのかのように質問があまりに当たり前すぎて回答する方が難しいのでは?っていう気がしてきたんですけど、もしかして、分離するのではなく熱平衡状態での考え方を拡張して分離するように擬フェルミエネルギーを書いているという事でしょうか?

投稿日時 - 2002-11-04 23:18:24

ANo.6

[順方向バイアスを加えるとフェルミ関数Wは上下に分かれますが…どういう事でしょうか??]
その前に訂正、「ガウス分布?」ではなくボルツマン分布ですね。
「関数Wは上下に分かれますが、」ということですが、ひずみと考えれば
いいのでは。2つの材料を接触して圧力をかけると接触面で膨れますよね。
このひずみは正常な状態ではないですね。
おのおのの材料のフェルミ関数Wは同じですが境界面(境界流域)でひずみ(電位のひずみ)が起きるということですね。境界領域で電位のひずみは吸収されるので境界から十分はなれたところでは、同じライン上になるでしょう。材料でも一部の場所に応力ひずみが集中しますね。境界面であれと同じ現象がおきているのです。だから境界領域ではフェルミ分布ではなくボルツマン分布になっていますねということですよね。
こんなんで、説明になっているかなあ?
参考まで

投稿日時 - 2002-11-02 10:23:27

お礼

ありがとうございます。
#5における式がやっぱりよく分かりません。n領域のフェルミエネルギーをE_Fn、p領域のフェルミエネルギーをE_Fp
内臓電位(built in potential)をΦ_D、バイアス電圧をV、電子の電荷を-q、n領域の伝導帯、価電子帯をそれぞれE_Cn、E_Vn、p領域の伝導帯、価電子帯をそれぞれE_Cp、E_Vp、バンドギャップを
Eg=E_Cn-E_Vn=E_Cp-E_Vpとして説明し直してもらえませんか?
そして、フェルミエネルギーは順方向バイアスを加えると、E_Fn-E_Fp=qVの差をもって上下に分離すると思うので、pとn領域で等しくWというのはやはりおかしいと思います。

投稿日時 - 2002-11-02 15:55:31

ANo.5

#1です。
#3,#4さんで回答が出ていると思いますが、補足まで。

PNジャンクション面での電流密度Jは、J∝expq{(V-Vg)/KT} です。
Vは印加電圧、Vg は閾値電圧(ギャップポテンシャル)ですね。
{(V-Vg)≪1 の場合がFermi・Dirac分布、(V-Vg)≫1 ガウス分布?}
この閾値Vgは、フェルミ関数Wを使えば、Fermi・Dirac分布系では、
フェルミWより下側(N): Jn∝expq{-(W-Vn)/KT}
フェルミWより上側(P): Jp∝expq{-(Vp-W)/KT}
ということで、-{(Vp-W)+(W-Vn)}/KT=-Vg/KT になっているね。
P側に外部電圧を印加すると、
(P): Jp∝exp{V-(Vp-W)/KT}
N側はそのままだから、
(N): Jn∝exp{-(W-Vn)/KT}
ということで {V-Vg}になるね。
おのおのの材料でのフェルミ関数Wは変化していませんね。
でも接合面で確かに{V-Vg}の電位差が存在するでしょう。
これを図形にしたものがよく観るPNジャンクションポテンシャル図
ですね。(ちなみにこれ、初めて導入したのはあの江崎先生だと聞いて
います。)

かなりアバウトな説明で申し訳ないが
こんなのが論点?
ずれてたらごめんね。

投稿日時 - 2002-11-01 11:25:45

補足

>でも接合面で確かに{V-Vg}の電位差が存在するでしょう。
接合面での電位差はVです。

投稿日時 - 2002-11-04 12:47:12

お礼

ありがとうございます。PNジャンクションポテンシャル図を導入したのは江崎先生だったんですね。知りませんでした。
>おのおのの材料でのフェルミ関数Wは変化していませんね。
順方向バイアスを加えるとフェルミ関数Wは上下に分かれますが…どういう事でしょうか??

投稿日時 - 2002-11-02 00:38:16

ANo.4

前の補足についてです。

化学ポテンシャルは、「周りに他の粒子がいることで、自分が
どれだけその場にいづらくなるか」ということなのですが、
あくまでポテンシャルです。ですから、粒子の全エネルギー
を考える際には他のポテンシャルとの総和になります。
電場という別のポテンシャルがかかっていれば、それとの和
が、全エネルギーになるのです。電場のために、化学ポテンシャル
が変化するのではありません。

別の例を言えば、重力gと電場Eと二つのポテンシャルが両方かかって
いる場合には、粒子(質量m、電荷q)のエネルギーは、mgx + Eqx
と、和になっています。

投稿日時 - 2002-11-01 01:23:22

補足

でも、順方向バイアスVを加えると化学ポテンシャルが上下にqVの差で分かれるのは何故ですか?
 また、n領域の伝導帯E_CnとフェルミエネルギーE_Fnとの差はバイアス電圧Vを加える前後で変化しますか?

投稿日時 - 2002-11-02 02:17:47

お礼

ありがとうございます。化学ポテンシャル自身が電場の影響を受けるんではないんですね。それなら化学ポテンシャルが自由電子密度と温度の関数というのと辻褄が合います。ほっとしました。
>別の例を言えば、重力gと電場Eと二つのポテンシャルが両方かかっている場合には、粒子(質量m、電荷q)のエネルギーは、mgx + Eqxと、和になっています。
この例え分かりやすかったです!

投稿日時 - 2002-11-01 17:43:10

ANo.3

Fermi-Dirac の分布関数 f=1/[Exp(β(E-μ))+1] (β=1/kT)でT→0 (β→∞)
としてみるとf(E<μ)=1,f(E>μ)=0となります。fの定義に遡ればこれはμより小
さなエネルギーの状態は全て占められ、μより大きなエネルギーの状態を占める
確率は0ということになります。これはFermiエネルギーの定義そのままです
からμ(T=0)=Fermi energyになります。(μは温度の関数です)。
--------------------------------------------------------
次にμの意味についてですが、熱力学第一法則 dU=TdS-pdV+μdNを見れば分かるようにμは系にもう1個の粒子を加えようとするときに必要なエネルギーということになります。従って2つの相が平衡状態にあるとき2つの相でμは等しくなります(もし
そうでなかったら粒子は平均してどちらかの相に流れやすくなってしまいます)

系に電圧がかかれば2つの相の間にエネルギーの差が生じます。電圧をかけたままで
2つの相が平衡状態になったとすればやはりこのときも2つの相の間の化学ポテンシャルが等しいというのが平衡を決める条件です。統計力学の適当な教科書にパウリ
常磁性というのがあると思いますが、磁場⇔電場と置き換えればこの2つの問題は
よくにています。参考にしてください。

投稿日時 - 2002-10-31 22:50:07

お礼

回答有難うございます。
>2つの相が平衡状態にあるとき2つの相でμは等しくなります。
というのは統計力学などの本も読み、ある程度分かりました。熱平衡状態にあればp、n領域のフェルミ準位=化学ポテンシャルが等しくなければならないというのも大体分かりました。
しかし、まだよく分からないのが、電圧を加える事でフェルミ準位=化学ポテンシャルが影響を受ける事です。
これの説明お願いします。

投稿日時 - 2002-10-31 23:35:15

ANo.2

要求水準より低かったらごめん!ってことで読んでください。
簡単に説明すると、フェルミエネルギーは電子がそこにいる確率が50%のところをさします。
二つの物質をくっつけると、電子は低いエネルギーの方に流れます。
そうすると、高いフェルミ準位の電子が低い方に行くので、高いフェルミ準位は下がり、逆に低い方はその電子が流れ込んできて、電子の存在確率が上がるので準位もあがります。
・・・で電子の行き来がなくなったところで安定します。そこが、フェルミ準位になります。
・・・っていうのをイメージしてください・・・。わかりにくくてすいません。

投稿日時 - 2002-10-31 20:20:22

お礼

有難うございます。十分分かりやすいですよ。
化学ポテンシャルについて数式を用いて説明していただければ光栄です。知りたい事は普通の教科書に書いていない事です。

投稿日時 - 2002-10-31 21:59:19

ANo.1

参考まで

材料にはそれぞれ固有の化学ポテンシャル(chemical potential)があります。2つの材料を接触させると、接触面で化学的平衡状態にあれば、接触面は同一ポテンシャル(電位)です。この時のポテンシャルをフェルミレベルと呼んでいるので、解析的に等しくなるのではなく、等しくしているのですね。
二番目の質問は1番目と同じです。平衡状態でなければ当然変化するという
ことですね。

ということで、
間違ってたらごめんね!

投稿日時 - 2002-10-31 12:45:17

お礼

さっそくの回答有難うございます。
Fermi-Diracの分布関数を導いた時に、
     f(E)=[exp(α+βE)+1]
のαを熱力学の関係式から、α=-μ/kTというのが分かり、
E_F=μと置く事は理解しているのですが、化学ポテンシャルに関する熱力学の知識が不十分で完全に化学ポテンシャルというものを理解していません。化学ポテンシャルに関して分かる事を教えて頂きたいです。また、化学ポテンシャルと外部電圧の間に何らかの関係式があるのでしょうか?

投稿日時 - 2002-10-31 17:33:50

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