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角振動数

高校物理1の角振動数について質問します。
単振動を表す方程式 Y=Asinωt で表されるωは角振動数ということですが、ω=2πfより、単位時間当たりの振動数なので、回/sということだと思います。また、等速円運動におけるωは角速度と表示され、ω=Δθ/Δt とされています。

この単振動における角振動数ω(回/s)と等速円運動における角速度ω(rad/s)とは、類似した分野で同じω記号を使っていますが、どのような関連があるのでしょうか?いまひとつ理解できませんので質問します。

投稿日時 - 2007-09-16 11:12:30

QNo.3349347

困ってます

質問者が選んだベストアンサー

ANo.1です。

> 角速度の定義より、ω=Δθ/Δtなので、Δθ=ωΔtとなります。

ここまでは良いのですが、この後、Δθがθに、Δtがtになるところで、注意が必要です。

もし積分を使ってよければ、次のように導きます。
Δθ=ωΔtの和をとり、
 ΣΔθ=ΣωΔt
として、数学で習った区分求積法の式でこれを積分にして、
 ∫dθ=∫ωdt
となり、ω=一定の条件より、両辺の積分を実行でき、θ(t)-θ(0)=ωt が得られます。これは右辺の積分の区間を0~tとし、それに対応して左辺の積分の区間はθ(0)~θ(t)として計算します。θ(0)=θ0とおくと、等速円運動は、(x,y) = (a cos(ωt+θ0), a sin(ωt+θ0)) と書けます。(θ0はθの右下に0。)

積分を使わないときには、次のような説明になります。
いま、ωが一定の場合を考えていますので、t=0で、
 (x,y)=(a,0)
から質点が出発すると仮定し、時刻tでの質点の方向をx軸から測って角度θとおき、
 (x,y)=(a cosθ, a sinθ)
と書くと、質点が等速で運動していることから、角度は一定の割合で増加するので、その増加の割合がω(rad/s)なので、θ=ωtと書けます。

ω=Δθ/Δtとの関係は次のように説明できます。いま、θ=ωtが成り立つとすると、Δt時間が経過してΔθ角度が増加したとき、
 (θ+Δθ) = ω (t+Δt)
と書けますから、θ=ωt を両辺から引いて、
 Δθ = ω Δt
が得られ、θ=ωtは、ω=Δθ/Δt の定義と一致していることがわかります。(ただしθ=ωtはω自体が時間的に変化することは考えていない。)

要するに、いまωが一定なので、Δθ = ωΔt と θ = ωt は同じようなものです。ただし後者では、t=0でθ=0を仮定しています。t=0でθ=θ0のときには、θ=ωt+θ0 になります。この場合でもΔθ=ωΔtは上と同様に導けます。

なお、等速円運動は、最も一般的には
 (x,y) = (a cos(ωt+θ0), a sin(ωt+θ0)) … (1)
  または、
 (x,y) = (a cos(-ωt+θ0), a sin(-ωt+θ0)) … (2)
と書けます。(1),(2)は、t=0で、
 (x,y) = (a cos(θ0), a sin(θ0))
という点から出発して、それぞれ反時計周り、時計回りの運動を表します。角度θ=±ωt+θ0は、この場合x軸から測った質点の位置の方向になります。ANo.1の
 (x,y)=(a sinωt, a cosωt) … (3)
は、y軸から測った角度θ'=ωtで時計回りの運動になりますので、図形的に考えると、θで書くとθ=-ωt+π/2になり、
 (x,y) = (a cos(-ωt+π/2), a sin(-ωt+π/2)) … (4)
の形になります。三角関数の加法定理を使うと、(4)が(3)に一致することが確認できます。


> ・等速円運動(2次元)→→
> →・単振動(1次元:等速円運動のY成分表示)→→
> →・媒質中における単振動(2次元:2次元運動として考えると波形を表すx-yグラフと、振動を表すy-tグラフが現れる/変数を追加することで3次元表示も可)→→
> →・波(2次元:運動の結果を表す/変数を追加することで3次元表示も可)
>
> という関係でつながると思われますが、いかがでしょうか?

「媒質中における単振動」以下の部分がよくわからないです。
xy平面上の質点の円運動の座標(x,y)と、波の問題のx-yグラフの(x,y)と同じに考えてはいけないと思います。x軸方向に進む波の問題では、xという点での媒質の変位をy(x,t)と書いていると思います。質点の問題のように、xもtによって変化しているわけではありません。質点の問題では、x,yがtの関数で、(x(t),y(t)) のようになっている状況です。

なお、もしこの後、追加質問がある場合は、改めて仕切りなおし、新しい質問を立てましょう。それがここのルールのようです。

投稿日時 - 2007-09-16 18:21:42

お礼

回答ありがとうございます。現段階でコメントを出せないのが残念です。

>・等速円運動(2次元)→→
→・単振動(1次元:等速円運動のY成分表示)→→
→・媒質中における単振動(2次元:2次元運動として考えると波形を表すx-yグラフと、振動を表すy-tグラフが現れる/変数を追加することで3次元表示も可)→→
→・正弦波(≒波)(2次元:運動の結果を表す/変数を追加することで3次元表示も可)

波(正弦波)を説明しようと思いまして、表示しました。正弦波は、円運動のY成分が前提となることを教えていただきましたので、強引に、等速円運動と正弦波(≒波)を結びつけてみました。これは、参考書中に表示してあった、「ある場所に生じた物体の変化が、次々に隣の部分に伝わってゆく現象を波、1点に生じた単振動が、次々に隣の点に伝わってできる波を正弦波という。」 とありました。

よって、等速円運動と正弦波との関係を示そうと思いました。

詳細な回答ありがとうございました。

投稿日時 - 2007-09-16 19:59:55

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回答(4)

ANo.4

背景として「円運動を円運動している面内でみると、単振動に見える」ということですが、質問者のそもそもの間違いは、
「ωの単位を(回/s)とする点が間違っています。」

f(回/s)はいいと思います。
ω=2πf(回/s)ですので、この場合の2πの単位を忘れていませんか?

この場合の2πは「1回転は360度=2π(rad)」という換算の意味があるので、単位は「rad/回」です。

よってω=2π(rad/回)f(回/s)なので、ωの単位は(rad/s)になります。

投稿日時 - 2007-09-16 21:38:22

補足

回答ありがとうございます。

「ω=Δθ/ΔtなのでωΔt=Δθである。
Y=Asinωtで表される単振動を示す正弦波は、単振動に投影される元の等速円運動がωΔt=Δθ(rad) [←度数法に比例的対応] 回転したとき、1次元に投影された単振動の、原点(t=0)からの変位を表しており、等速円運動と単振動が1対1の対応を表す関数の関係にあるという意味において、角速度ωと角振動数ωは単位時間当たりの回転角という共通の定義で当てはまる。」

↑こういう説明はどうでしょうか?

投稿日時 - 2007-09-18 19:33:50

お礼

回答ありがとうございます。


>よってω=2π(rad/回)f(回/s)なので、ωの単位は(rad/s)になります。

そうすると、角振動数ωと角速度ωは同じ(rad/s)ということになるのですね。

投稿日時 - 2007-09-16 22:21:49

>単振動を表す方程式 Y=Asinωt で表されるωは角振動数ということですが、ω=2πfより、単位時間当たりの振動数なので、回/sということだと思います。

f(回/s) が単位時間当たりの振動数です。

投稿日時 - 2007-09-16 12:29:15

補足

回答ありがとうございます。

No.2様のお礼を書いていて思ったのですが、

>この単振動における角振動数ω(回/s)と等速円運動における角速度ω(rad/s)とは、類似した分野で同じω記号を使っていますが…

角振動数ω(回/s)と角速度ω(rad/s)の単位の違いは…

「単振動は等速円運動のY成分にすぎないので(1次元)、角速度ω(2次元:rad/s)のY成分である角振動数ω(1次元:回/s)は、等速円運動の1方向成分として、単位を変換して使っています。」

↑という表現でよいのでしょうか?(高校生の表現としてはこうなると思いますが…)
しかし、単位も違うので、別の記号を使ったほうが良いような気がしますが、同じ単位を使っているということは、等速円運動と単振動は同じものとして扱って差し支えないのですね?詳しい方がいらしゃいましたら、解説をお願いします。

投稿日時 - 2007-09-16 14:37:57

お礼

回答ありがとうございます。

>また、単振動における位相を考えた場合、θ:2π=t:T(周期)
よって、θ/2π=t/T  より θ=2π*t*1/T=2πtf
よって、Asinθ=Asin(2πt/T)…(2)  [y-tグラフ:振動グラフ]
(1)、(2)よりY=Asinθ=Asin(ωt)=Asin(2πt/T)

↑よって、Y=Asinθ=Asin(ωt)=Asin(2πt/T)=Asin(2πf*t)となり、ω=2π*f 
ここで、2πは定数なので、ωとfの単位は同じになると思いますが、いかがでしょうか?

No.1のお礼を考えていて理解できました。ありがとうございました。

投稿日時 - 2007-09-16 14:15:02

aaiukouiuさん、こんにちは。

よくある説明ですが、原点を中心とする円運動を、x軸(y軸でもよい)に投影すると、単振動になります。

すなわち、原点を中心とする円運動は、

 (x,y) = (a sinωt, a cosωt)

と書くことができます。このxの値、x = a sinωt は単振動の式ですね。

投稿日時 - 2007-09-16 12:15:42

補足

回答ありがとうございます。
No.2様への補足内容を投稿した後で思いつきましたので、この場をお借りして表示します。

・等速円運動(2次元)→→
→・単振動(1次元:等速円運動のY成分表示)→→
→・媒質中における単振動(2次元:2次元運動として考えると波形を表すx-yグラフと、振動を表すy-tグラフが現れる/変数を追加することで3次元表示も可)→→
→・波(2次元:運動の結果を表す/変数を追加することで3次元表示も可)

という関係でつながると思われますが、いかがでしょうか?

投稿日時 - 2007-09-16 15:08:49

お礼

回答ありがとうございます。

等速円運動する半径Aの円をX軸、Y軸に投影した場合、(X,Y)=(Acosθ、Asinθ)となり、また、角速度の定義より、ω=Δθ/Δtなので、Δθ=ωΔtとなります。

単振動は等速円運動をY軸上に投影した場合の運動なので、Y=Asinθ=Asin(ωΔt)=Asin(ωt)…(1)  [x-yグラフ:波形グラフ] 

また、単振動における位相を考えた場合、θ:2π=t:T(周期)
よって、θ/2π=t/T  より θ=2π*t*1/T=2πtf
よって、Asinθ=Asin(2πt/T)…(2)  [y-tグラフ:振動グラフ]

(1)、(2)よりY=Asinθ=Asin(ωt)=Asin(2πt/T)

ということですね。よくわかりました。ありがとうございました。

投稿日時 - 2007-09-16 14:08:23

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